Integridad del campo vectorial$e^{-x} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}$

Question

Sólo quiero rebote esta fuera de la gente inteligente en el MSE, para asegurarme de que entiendo lo que está pasando cuando hablamos de completar campos vectoriales.

Considere el siguiente campo. $X = e^{-x} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}$. Nos gustaría determinar si este campo vectorial es completa. Para ello, vamos a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias definidos por ella, y comprobar para ver si todas las curvas integrales definidas para todos los $t$.

El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es $\frac{dx}{dt} = e^{-x}$, e $\frac{dy}{dt} = 1$. La solución de la segunda ecuación de la primera, es fácil observar que $y=t+k$. Por otro lado, la primera ecuación implica que $e^x dx = dt$ y que, por ende,$e^x = t +c$, o que $x = \ln (t+c)$. Pero esto no es definido por algunos $t$.

Estoy correcto en la interpretación de esto para decir que las curvas integrales puede ser pensado como la localización de los caminos $e^x +c$ (por supuesto, la velocidad a la que estas curvas están trazadas de baja con $t)$? Creo que este vector campo no está completa, porque esta idea no tiene sentido negativo de $t$ como se observó antes. Si yo estoy completamente fuera de base, ¿cómo debo pensar completura de campos vectoriales, y cómo comprobarlo?

edit: se ha corregido algunos errores tipográficos como se señaló en los comentarios/respuestas.

Answer 1

Su razonamiento es correcto, excepto para los siguientes: $e^x = t+c$ implica $x = \ln(t+c)$, no $\ln t+c$. La conclusión sigue siendo: el campo no es completa.

Más precisamente, las trayectorias existen avanzando en el tiempo, es decir, si se inicia en algún punto de $(x_0,y_0)$ tiempo $t=0$,$c=e^{x_0^2+y_0^2}>0$, por lo que la solución existe para $t>-e^{x_0^2+y_0^2}$.

La razón de soluciones de explotar cuando se mueve hacia atrás en el tiempo es que $x$ disminución $t$ disminuye, lo que hace que $e^{-x}$ más grande, lo que acelera el proceso, etc — el bucle de retroalimentación destruye la solución. Lo mismo sucede con la $x'=e^x$ avanzando en el tiempo, o con $x'=x^3$ ir en cualquier dirección.