¿Cómo sabemos que ciertos modelos no estándar de hormigón de los números naturales satisfacen los axiomas de Peano?

Question

Es fácil de llegar con objetos que no satisfacen los axiomas de Peano. Por ejemplo, supongamos $\Bbb{S} = \Bbb N \cup \{Z\}$, e $SZ = S0$. Entonces esto claramente viola el axioma que dice que el $Sa=Sb\to a = b$, a menos estamos de acuerdo en que $Z=0$, en cuyo caso lo que tenemos es exactamente el estándar de números naturales.

Del mismo modo, considerar la siguiente estructura: $$\Bbb T = \Bbb N \cup \{a, Sa, SSa, SSSa, SSSSa\},$$ where $S(SSSSa) = a $. This fails to satisfy the Peano axioms, but the failure is a little harder to find. The induction schema includes an axiom $$((0\ne SSSSS0)\land(\forall n. n\ne SSSSSn\to Sn\ne SSSSS(Sn))\to \\ \forall n. n\ne SSSSSn. $$

El andecedent es demostrable, y así los axiomas de Peano demostrar $\forall n. n\ne SSSSSn$, lo que descarta la posibilidad de $SSSSSa=a$.

A continuación, considere la estructura de $$\Bbb U = \Bbb N \cup \{ \overline 0, S\overline{0}, SS\overline{0}, \ldots\}.$$

Esto está regido por un axioma de inducción para el predicado $n=0\lor \exists m. n=Sm$; el predicado no lleva a cabo para el elemento $\overline 0$.

Por último, considere la posibilidad de $$\Bbb V = \Bbb N \cup \{ \ldots, N_{-2}, N_{-1}, N_0, N_1, \ldots\}$$

con la regla de que $S(N_k) = N_{k+1}$. Aquí yo no era capaz de encontrar un teorema de PA que descartar $\Bbb V$ como un modelo.

Mis preguntas (modificado por los comentarios):

1. Sé que al menos dos argumentos que no estándar de los modelos de PA debe existir. Pero, ¿cómo podemos estar seguro de que algún objeto específico es uno de ellos, y algún otro objeto que no es?
2. Dada la estructura como $\Bbb U$ o $\Bbb V$ que no es un modelo de PA, hay una técnica para encontrar una prueba de que no es un modelo? Hay una técnica para encontrar un teorema de PA que no se sostenga en el no-modelo?
3. Supongo que esto se trata en algunos primaria modelo de la teoría del libro de texto. Donde lo puedo encontrar?

Answer 1

no estándar de los modelos de PA debe existir. Pero, ¿cómo podemos estar seguro de que algún objeto específico es uno de ellos, y algún otro objeto que no es?

Hay algunas condiciones necesarias en el tipo de pedido pero Tenenbaum del teorema (adición y la multiplicación son no computables contables no estándar de los modelos de PA cuyos elementos son identificados con $N$) establece un fuerte límite en la forma "específica" el objeto puede ser. Básicamente, usted tendría que construir el objeto como un modelo no estándar de PA, no empezar a partir de una concreta estructura combinatoria que plausiblemente podría ser un modelo y demostrar que es uno.

Dada una estructura como la U, que no es un modelo de PA, hay una técnica para encontrar una prueba de que no es un modelo? Hay una técnica para encontrar un teorema de PA que no se sostenga en el no-modelo?

Viola algunos condición necesaria (generalmente de tipo de orden, por ejemplo, en el ejemplo de la pregunta con un ciclo de longitud 5). De acuerdo con el comentario de Andrés Caicedo, tener una infinita ordinal ser de primer orden definible en $U$ lo haría no es un modelo.

Supongo que esto se trata en algunos primaria modelo de la teoría del libro de texto.

Kaye, el libro de los modelos de PA.