Baby Rudin, Capítulo 10, Problema 23 (d) - Formas diferenciales.

Question

En los problemas 21 y 22, Rudin define las formas diferenciales $\eta=\dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ y $\zeta=\dfrac{x dy \wedge dz+ydz \wedge dx+z dx \wedge dy}{r^3}$ y se pide al lector que demuestre varias afirmaciones al respecto (por ejemplo, que integrando estas formas se obtiene la superficie, y que integrando sobre superficies homotópicas se obtiene el mismo resultado).

En el problema 23, se nos pide que tratemos de generalizar algunas de las afirmaciones de los problemas 21,22 para un $n$ para la forma n diferencial $\omega_n=\frac{1}{r^n} \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1} x_i dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_{i-1} \wedge dx_{i+1} \wedge \ldots \wedge dx_n$ .

Me encantaría escuchar cualquier resultado conocido sobre $\omega_n$ y con pruebas si es posible (soy nuevo en el análisis de alta dimensión). Ya sé que es cerrado, y no exacto.

Gracias.

Answer 1

Desarrollando el comentario de Ehsan M. Kermani: $\omega_n$ (con $r=1$ ) es el forma de volumen en $S^{n-1}$ . En otras palabras, para cualquier función razonable $f:\mathbb S^{n-1}\to\mathbb R$ la integral $\int_{S^{n-1}}f\omega_n$ coincide con la integral de $f$ con respecto a la medida de Lebesgue en $S^{n-1}$ .

Esquema de la prueba . Basta con comprobar que $T^*\omega_n = \omega_n$ para todo mapa lineal ortogonal $T$ porque esto demuestra que $\int_{S^{n-1}}f\omega_n$ es invariante bajo rotaciones (y la medida de Lebesgue es la única medida rotacionalmente invariante). En lugar de calcular $T^*\omega_n$ directamente, introduzca $f(x)=\|x\|^2$ y comprobar que $*df = 2\omega_n$ donde * es el Estrella Hodge . Desde $f\circ T=f$ se deduce que $T^*df=df$ por lo que (aplicando * en ambos lados) $T^*\omega_n=\omega_n$ .