La medida Lebesgue de un subconjunto del círculo de la unidad

Question

Tengo problemas para empezar con esta pregunta:

Deje que $S^1$ ser el círculo de la unidad. Que $m = d \theta $ ser la medida de Lebesgue en $S^1$ . Deje que $M \subset S^1$ ser un conjunto medible de tal manera que $m(M) \geq 3 \pi / 2.$ Deje que

$$ X = \{ \theta \in S^1: m(M \cap ( \theta - 0.1, \theta + 0.1)) \leq 0.1\}. $$

Demuestra que $m(X) \leq \pi. $

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La convolución es una herramienta poderosa. Dejemos que $A = \{ e^{i \theta } : \lvert \theta\rvert < 0.1\}$ y $f = \chi_A \ast \chi_M $ . Entonces tienes $X = f^{-1}([0,0.1])$ y

\begin {alinear} \int_ f( \theta )\,d \theta &= \int_ {S^1} \int_ {S^1} \chi_A ( \theta - \varphi ) \chi_M ( \varphi )\,d \varphi\ ,d \theta\\ &= \int_ {S^1} \int_ {S^1} \chi_A ( \theta - \varphi ) \chi_M ( \varphi )\,d \theta\ ,d \varphi\\ &= \int_ {S^1}m(A).{\i} \chi_M ( \varphi )\,d \varphi\\ &= m(A) \cdot m(M) \\ &= 0,2 m(M) \\ & \geqslant 0.2 \cdot\frac {3 \pi }{2}. \end {alinear}

Por otro lado,

\begin {alinear} \int_ f( \theta )\,d \theta &= \int_X f( \theta )\,d \theta + \int_ {S^1 \setminus X} f( \theta )\,d \theta\\ & \leqslant 0.1 \cdot m(X) + 0,2 \cdot m(S^1 \setminus X) \\ &= 0.2 \cdot 2 \pi - 0.1 \cdot m(X), \end {alinear}

así que, combinando con lo anterior

$$0.2 \cdot\frac {3 \pi }{2} \leqslant 0.2 \cdot 2 \pi - 0.1 \cdot m(X) \iff m(X) \leqslant 2 \bigl (2 \pi - \tfrac {3 \pi }{2} \bigr ) = \pi. $$