Algunas preguntas sobre la presentación de la lógica de primer orden en un libro de Raymond Smullyan

Question

Estoy releyendo a Raymond Smullyan, Primer orden-Lógica (1968 - reimpresión Dover).

Es un folleto maravilloso (me ha gustado mucho), pero un poco escueto.

Utiliza la distinción entre variables individuales (que se utilizará "encuadernado") y parámetros individuales (de uso "libre") [pag.43].

Pregunta 1) Creo que este uso (ahora) poco común se remonta a la obra de Hilbert & Bernays Fundamentos de las matemáticas (1934) : ¿es cierto?

El libro utiliza conceptos de f-o semántica bastante similares a los actuales de la "teoría de modelos", como valoración de primer orden ; pero, si no me equivoco, no introduce el concepto de "consecuencia lógica" (para la lógica f-o; sólo utiliza verdad-consecuencia funcional - pag.12).

Pregunta 2) ¿Por qué falta este concepto? También falta en J.L.Bell y A.B.Slomson, Modelos y ultraproductos (1969): cuando la "consecuencia lógica" se ha convertido en estándar ¿en libros de texto de exposición de lógica f-o?

Utiliza el concepto de con constantes en $U$ (o $U$ - fórmulas ), donde $U$ es un conjunto no vacío llamado universo de individuos [pag.46]. Sustituye los individuos por variables libres [es decir $F(k/x)$ para cualquier $k \in U$ ].

Pregunta 3) Podemos decir que debería ser mejor utilizar nombres para los individuos (como el numeral $\overline{n}$ para $n$ ) de modo que, para cualquier $k \in U$ podemos hacer la sustitución $F(\overline{k}/x)$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Ad qn 1 : Este uso, que distingue tipográficamente las variables libres (parámetros) de las variables ligadas, aparece sin duda también en la tesis doctoral de Gentzen, publicada en 1934. No sé cuál fue la influencia, en todo caso, entre Bernays y su alumno (nominal) Gentzen aquí. El uso es heredado por la enormemente influyente obra de Dag Prawitz Deducción natural de 1965, y el uso de hecho entonces sigue siendo no infrecuente en aquellos cuyo trabajo lógico está más orientado a la teoría de la prueba.

Ad qn 2 Yo no. piense en algo profundo está pasando aquí. El Cap. 1 sobre lógica de la proposición ya ha explorado las relaciones entre $A$ es una consecuencia lógica del conjunto $X$ la insatisfactibilidad del conjunto $X, \neg A$ (vía compacidad) la insatisfactibilidad de un subconjunto finito de $X, \neg A$ y la deducibilidad de $A$ de $X$ . Tal vez Smullyan no pensó que necesitaba pasar por todos de nuevo en el caso de primer orden: basta con hablar de nuevo de la (in)satisfacibilidad de los conjuntos de wffs, de la compacidad y de la deducibilidad. Pero sí, quizá sea sorprendente no definir una consecuencia lógica directa para las wffs de primer orden.

Ad qn 3 No, no podemos decir eso. La cuestión es que el número de elementos en el universo puede superar el número de nombres, ya que los nombres (o términos en general) son innumerables para Smullyan, pero los elementos del universo U pueden ser incontables, por lo que hay elementos sin nombre.