La proposición Deje $P$ $p$- subgrupo de un grupo de $G$, e $S \in Syl_p(G)$, luego
$$ S \subseteq N_G(P) \text{ iff } P \unlhd S.$$
Prueba De Asumir $S \subseteq N_G(P)$. Observar que aparentemente $S \in Syl_p(N_G(P))$. Por supuesto, $P$ $p$- subgrupo de $N_G(P)$ y que debe encontrarse en algunas de Sylow $p$-subgrupo de $N_G(P)$$P \subseteq S^x$, para algunas de las $x \in N_G(P)$. Desde $P$ es también normal en $N_G(P)$, se deduce que el $P=P^{x^{-1}} \subseteq S$. Por el contrario, si $P \unlhd S$, luego de curso $S \subseteq N_G(P)$.
Ahora aplicar esto a su situación: ya observó que todos los Sylow $p$-subgrupos de $G$ están contenidas en $N_G(R)$. La proposición le da ese $R \unlhd P$ todos los $P \in Syl_p(G)$$R \subseteq \bigcap_{P \in Syl_p(G)}P=O_p(G)$. Obviamente, $O_p(G) \subseteq R$. Así en el hecho de $R=O_p(G)$ y listo.(Lo que sigue es que $N_G(R)=G!$)
Comentario Observe que hay un famoso teorema de Jerald Brodkey (ver por ejemplo el libro de I. M. Isaacs, Teoría de grupos Finitos, 1.37), diciendo que si el Sylow $p$-subgrupos son abelian, entonces el $O_p(G)$ puede ser comprendido como la intersección de un determinado par de diferentes Sylow $p$-subgrupos. En su caso (con una restricción en el número de Sylow $p$-subgrupos), vemos que el $O_p(G)$ puede ser comprendido como la intersección de cualquier par de diferentes Sylow $p$-subgrupos!
