Evaluar $$\int_{0}^{\infty}\frac{\log^2 x}{e^{x^2}}\mathrm{d}x$$.
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Gracias por poner la pregunta en suspenso y me dejó sin ninguna idea. Ahora que me lo ha solucionado, creo que es un muy buen integral y así me alegro de que me las arreglé para hacerlo por mi cuenta. Aquí está mi solución.
Exponente con el argumento negativo en la integral de $0$ $\infty$nos recuerda la función gamma. Recordemos la definición: $\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\mathrm{d}x$. De esta manera el logaritmo viene con bastante naturalidad como tomamos la derivada de $\Gamma$ usando diferentiation bajo el signo integral. Segunda potencia de la $\log$ proviene de la segunda derivada de $\Gamma$. La situación es un poco más complicada, ya que contamos con $e$ a la potencia $x^2$. Sin embargo, esto no es un gran obstáculo - acaba de hacer el cambio de $x\to\sqrt{x}$. Por lo tanto $\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}x^{s-1}\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\frac{s-1}{2}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{s}{2})$. Por lo tanto $$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\log^2 x =\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}\Big|_{s=1}\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}x^{s-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{8}\Gamma''\left(\frac{1}{2}\right).$$ El problema que ahora se reduce a encontrar la segunda derivada de gamma en $\frac{1}{2}$. Para encontrar los derivados de la $\Gamma$ es útil para encontrar los derivados de la $\log\Gamma$ - el llamado polygamma función. En representación de $\Gamma$ como su factorización de Weierstrass y tomar $\log$ conduce a la serie, que sean fáciles de diferenciar y calcular. Recordemos que $$\Gamma(s)=\frac{e^{-\gamma s}}{s}\prod_{n\ge 1}^{\infty}\left(\left(1+\frac{s}{n}\right)^{-1} e^{s/n}\right).$$ Thus $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\Big|_{s=\frac{1}{2}}\log\Gamma(s)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\Big|_{s=\frac{1}{2}}\left(-\gamma s-\log s+\sum_{n\ge 1}^{\infty}\left(-\log\left(1+\frac{s}{n}\right)+\frac{s}{n}\right)\right)=-\gamma-\frac{1}{s}+\sum_{n\ge 1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n+s}+\frac{1}{n}\right)\Big|_{s=\frac{1}{2}}=-\gamma-2+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(2n+1)}=-\gamma+\log 4.$$ Now rewrite $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\Big|_{s=\frac{1}{2}}\log\Gamma(s)=\frac{\Gamma'\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) }$. So we have $$\Gamma'\left(\frac{1}{2}\right)=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)(-\gamma+\log 4)\ (1).$$ De la misma manera podemos encontrar la segunda derivada de $\log\Gamma$ $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}\Big|_{s=\frac{1}{2}}\log\Gamma(s)=\frac{1}{s^2}+\sum_{n\ge 1}^{\infty}\frac{1}{(n+s)^2}\Big|_{s=\frac{1}{2}}=4+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{2}.$$ De nuevo nos re-escribir la derivada como la diferenciación de la función de composición - $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}s^2}\Big|_{s=\frac{1}{2}}\log\Gamma(s)=-\frac{\Gamma'\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{\Gamma''\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}$. Ahora, tomando en consideración lo anteriormente hemos obtenido acerca de la segunda derivada, el resultado acerca de la primera derivada y el hecho de $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ llegamos a la ecuación de la derivada segunda en $\frac{1}{2}$ lo que nos da $$\Gamma''\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left(2\gamma^2+\pi^2+4\gamma \log 4+2\log^2 4\right).$$ Now mupltiply by $8$ y obtener el resultado final.
