Ecuaciones de raíces cuadradas

Question

Tuve que resolver este problema:$$\sqrt{x} + \sqrt{x-36} = 2$ $ Así que reorganicé la ecuación de esta manera:$$\sqrt{x-36} = 2 - \sqrt{x}$ $ Luego cuadré ambos lados para obtener:$$x-36 = 4 - 4\sqrt{x} + x$ $ Luego hice mi álgebra simple:$$4\sqrt{x} = 40$ $$$\sqrt{x} = 10$ $$$x = 100$ $ El problema es que cuando vuelvo y conecto el valor de$x$ en la ecuación, no funciona. $$\sqrt{100} + \sqrt{100-36} = 2$ $$$10+8 = 2$ $ Lo que obviamente es incorrecto.

Answer 1

Su argumento muestra que si hay una raíz real, esa raíz debe ser$100$. Pero no hay una raíz real. Para$\sqrt{x-36}$ existe solo si$x\ge 36$, y en ese caso$$\sqrt{x}+\sqrt{x-36}\ge 6.$ $

Observación: cuando cuadró ambos lados de$\sqrt{x-36}=2-\sqrt{x}$, introdujo la posibilidad adicional$\sqrt{x-36}=-(2-\sqrt{x})$. Y de hecho,$x=100$ es una solución de esa ecuación. El$x=100$ es una raíz extraña que proviene del hecho de que las ecuaciones$\sqrt{x-36}=2-\sqrt{x}$ y$(\sqrt{x-36})^2=(2-\sqrt{x})^2$ no son equivalentes.

Answer 2

Evite la cuadratura siempre que sea posible, ya que introduce de inmediato raíces extrañas que exigen exclusión (es).

PS

PS

Pero $$(\sqrt x-\sqrt{x-36})(\sqrt x+\sqrt{x-36})=x-(x-36)=36$

¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

Método $\#1:$

En cuanto a real$a,\sqrt a\ge0\ \ \ \ (1)$

$(\sqrt x+\sqrt{36-x})^2=36+2\sqrt{x(36-x)}\ge36$

$\implies\sqrt x+\sqrt{36-x}\ge6\ \ \ \ (2)$ o$\sqrt x+\sqrt{36-x}\le-6\ \ \ \ (3)$

Finalmente,$(1)$ anula$(3)$

Método $\#2:$

WLOG deja que$\sqrt x=6\csc2y$ donde$0<2y\le\dfrac\pi2\implies\sqrt{x-36}=+6\cot2y$

$\sqrt x+\sqrt{36-x}=6\cdot\dfrac{1+\cos2y}{\sin2y}=6\cot y$

Ahora$0<2y\le\dfrac\pi2\implies0<y\le\dfrac\pi4\implies\cot0>\cot y\ge\dfrac\pi4=1$ as$\cot y$ está disminuyendo en$\left[0,\dfrac\pi2\right]$