Considerar el mapa de $$\gamma\colon (0,1)\to\mathbb{R}^2,\ t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)).$$ Este es un ejemplo de un mapa que es continua e inyectiva pero no es un homeomorphism en la imagen, desde la inversa podría no ser continua. De hecho, dos puntos arbitrariamente cercanos unos de otros en un pequeño barrio de $(1,0)$ iría lejos en la preimagen. Por definición, una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto es abierto en el dominio. Cómo puedo encontrar un conjunto abierto en el apoyo de esta curva, que es enviada a un no-conjunto abierto en el intervalo?
Respuestas
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El mapa es un homeomorphism en la imagen: Vamos a $I:=(0,1)$, $S:=\gamma(I)$, y considerar la posibilidad de un punto de $z\in S$. A continuación,$t:=\gamma^{-1}(z)\in I$. Cualquier vecindario $V$ $t$ contiene un intervalo abierto $(a,b)$ tal que $0<a<t<b<1$. El conjunto $$\Omega:=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\ |\ x^2+y^2>0, \ 2\pi a<\arg(x,y)<2\pi b\}$$ está abierto en ${\mathbb R}^2$, de donde $U:=\Omega\cap S$ es un subconjunto abierto de $S$ que contiene el punto de $z$. Por lo tanto, $U$ es una vecindad de a $z$, e $\gamma^{-1}(U)=(a,b)\subset V$.
Aquí está un ejemplo de un continuo inyectiva mapa de $f:\ I\to {\mathbb R}^2$ que es no un homeomorphism en su imagen: $$f(t)\ :=\ \cases{(6t-1,0) & $\bigl(0 < t\leq{1\over3}\bigr)$\cr (2-3t, 3t-1) & $\bigl({1\over3}\leq t\leq{2\over3}\bigr)$ \cr (0,3-3t) & $\bigl({2\over3}\leq t < 1\bigr)$ \cr}\quad.$$ Dibujo de una figura se ve que la inversa de mapa de $f^{-1}$ no es continua en a $(0,0)=f\bigl({1\over6}\bigr)$.
Youssef Abou Shady
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Tal vez es demasiado tarde para esta pregunta, pero mientras va a través de este ejemplo, me preguntaba si la función sugerida por Christian Blatter, mientras que no un Homeomorfismo de $(0, 1) \mapsto {\mathbb R}^2, $ es todavía una incrustación de $(0, 1) \mapsto f((0, 1)) $ una vez $f((0, 1)) $ se equipa de la topología relativa ¿$\mathbb{R}^2 $ entrecruzados de $f((0, 1)) $?
Maurice
