Martingales y las Integrales pregunta

Question

Estoy atascado con un martingales ejercicio aquí:

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\sin\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n$$

Traté de hacerlo sin martingales y que funcione bien para mí. Pero no puedo ver cómo aplicar la definición de Martingales aquí.

Por favor alguien puede explicar a mí lo que me tiene que hacer? Muchas gracias!

Answer 1

Deje $X_1,X_2,X_3,...$ ser una secuencia de yo.yo.d. las variables aleatorias que se distribuyen uniformemente a lo largo de $[0,1]$.

Entonces sabemos que el $$\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\sin\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n \;\;= \;\;E \bigg[\sin \bigg( \frac{X_1+...+X_n}{n} \bigg) \bigg]$$

Por la ley de los grandes números, sabemos que $\frac{X_1+...+X_n}{n}$ converge casi seguramente a $1/2$. Por lo tanto, por la continuidad de la función seno, sabemos que $\sin \big( \frac{X_1+...+X_n}{n} \big)$ converge casi seguramente a $\sin(1/2)$.

Por lo tanto mediante el teorema de convergencia Dominada, así como el hecho de que el seno es acotado, podemos ver que $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\sin\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n$$ $$=\lim_{n \to \infty} E \bigg[\sin \bigg( \frac{X_1+...+X_n}{n} \bigg) \bigg] = E \bigg[ \lim_{n \to \infty} \;\sin \bigg( \frac{X_1+...+X_n}{n} \bigg) \bigg] $$$$ = E\big[\sin(1/2)\big]=\sin(1/2)$$

Me disculpo de antemano si hay un error en alguna parte en mis cálculos.