Demostrar que la expresión de $5^{2n+1} \cdot 2^{n+2} + 3^{n+2} \cdot 2^{2n+1}$ es divisible por 19.

Question

Demostrar que la expresión $$5^{2n+1} * 2^{n+2} + 3^{n+2} * 2^{2n+1}$$ es divisible por $19$.

Voy a omitir la base paso (como yo he hecho la última vez), pero puedo concluir que sólo es divisible por 19 para enteros n ≥ 0 (o números enteros).

II. Suponga que $$5^{2k+1} * 2^{k+2} + 3^{k+2} * 2^{2k+1}$$ es divisible por 19. A continuación, $$5^{2k+3} * 2^{k+3} + 3^{k+3} * 2^{2k+3}$$ es divisible por 19.

Ahora aquí es donde me pierdo, me trate de "desmembrar" la expresión para obtener $$5^{2k}* 5^3 * 2^k * 2^3 + 3^k * 3^3 * 2^{2k} * 2^3$$

Yo también trataré de hacer es similar a la de la asunción para hacer uso de dicho supuesto de rendimiento $$5^{2k}* 5 * 5^2 * 2^k * 2^2 * 2 + 3^k * 3^2 * 3 * 2^{2k} * 2 * 2^2$$ $$5^{2k+1} * 5^2 * 2^{k+2} * 2 + 3^{k+2} * 3 * 2^{2k+1} * 2^2$$ $$5^{2k+1} * 25 * 2^{k+2} * 2 + 3^{k+2} * 3 * 2^{2k+1} * 2^2$$ $$50 * 5^{2k+1} * 2^{k+2} + 12 * 3^{k+2} * 2^{2k+1}$$ Y aquí es donde me pierdo.. : (

Me estoy perdiendo de algo? Había hecho mal? El número 19 es primo, que hace que sea difícil de manejar para mí. Gracias!

EDIT : Después de alguna reflexión, me respondió de esta manera : $$50 * 5^{2k+1} * 2^{k+2} + 12 * 3^{k+2} * 2^{2k+1}$$ Me di cuenta de que el 50 puede ser escrito como 38 + 12 (y 38 es un múltiplo de 19) por lo tanto, $$ 38 + 12 * 5^{2k+1} * 2^{k+2} + 12 * 3^{k+2} * 2^{2k+1} $$ Factorizando 12, me sale : $$ 38 + 12(5^{2k+1} * 2^{k+2} + 3^{k+2} * 2^{2k+1}) $$ 38 es divisible por 19 y el largo de expresión es divisible por 19 (por la asunción) y qed. Es esto correcto ?

Answer 1

Sin el uso de la inducción $$5^{2n+1}2^{n+2}+3^{n+2}2^{2n+1}=20\cdot50^n+18\cdot12^n$$

$$\equiv1\cdot12^n+(-1)\cdot12^n\pmod{19}$$ as $20\equiv1,18\equiv-1,50\equiv12\pmod{19}$

Answer 2

Debido a $$5^{2n+1}2^{n+2}+3^{n+2}2^{2n+1}=20\cdot50^n+18\cdot12^n=$$ $$=20(50^n-12^n)+38\cdot12^n$$ y ya $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1}),$$ hemos terminado!

Answer 3

Sugerencia:

$ 5^{2n+1} 2^{n+2} + 3^{n+2} 2^{2n+1} \\= 20\cdot 50^n + 18 \cdot 12^n \\= 19(50^n + 12^n) + 50^n - 12^n \\= 19(50^n + 12^n) + (2\cdot 19 +12)^n - 12^n $

Answer 4

$$5^{2n+1}2^{n+2}+3^{n+2}2^{2n+1}=20(50)^n+18(12)^n\equiv-18(50)^n+18(12)^n\equiv-18(12)^n+18(12)^n\equiv0$$

Answer 5

$$5^{2n+1}2^{n+2}+3^{n+2}2^{2n+1}\equiv 5^{2n}2^n-3^n2^{2n}\pmod{19}\qquad (1)$$ desde $5^12^2=20\equiv 1\pmod{19}$$3^22^1=18\equiv -1\pmod{19}$. Por lo tanto, $(1)$ los rendimientos de los siguientes $$2^n(5^{2n}-3^n2^n)=2^n(25^n-6^n)=50^n-12^n\equiv 12^n-12^n\pmod{19}\equiv 0\pmod{19}$$ desde $50\equiv 12\pmod{19}$.