Demostrar que y>2x+1 es abierto?

Question

La respuesta es insertado pero lo que estoy buscando, es una gran ruptura en esto. Mi profesor trató de explicar para mí, una más difícil que la versión pero no la entiendo.

---

Solución:

---

Lo que mi profe hace por los problemas que ha pasado es que primero saca un disco contenida en S. Entonces él encuentra a otro punto dentro de la disco, mover algún pequeño incremento menor que el radio del disco. Se trata de encontrar una radio que funcione para cualquier punto en S para mostrar que no se abra.

En este caso, iba a hacer algo como esto ... (como una prueba de dibujo)

Deje $z=(x,y) \in S$ con abrir el disco de radio $\delta$, $D_r(z)$. Si tomamos otro punto en el disco alrededor de z, decir $z_0$, tendríamos $z_0 = (x+\alpha,y+\beta)$$|\alpha|<\delta$$|\beta|<\delta$.

A continuación, $y+\beta > 2(x+\alpha)+1$

$y+\beta > 2x + 2\alpha+1$

$y-2x-1>2\alpha-\beta$

Entonces él probablemente haría desigualdad de triángulo cosas aquí para obtener un valor para obtener el radio de $\delta$.

Yo no estoy en busca de soluciones alternativas (tales como el uso de matrices inversas que no hemos cubierto).

Puede alguien por favor realmente romper este para mí y para justificar todo? Lo agradecería muchísimo, he intentado tan duro para aprender eso, pero yo no lo pillo!

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, usted probablemente no $1$ cuando escribió la $y+\beta>2(x+a)$ (es decir, el lado derecho debe ser $2(x+a)+1$).

Segundo, creo que su profesor estaba tratando de mostrar que el razonamiento detrás de la fórmula $\delta=\frac{1}{3}(y-2x-1)$. Básicamente, usted desea $\delta$ de manera tal que siempre que $|\alpha|<\delta$$|\beta|<\delta$,$y-2x-1>2\alpha-\beta$. (De nuevo, el $1$ proviene de $y+\beta>2(x+a)+1$.) Pero tenga en cuenta que $$ 2\alpha\beta\leq|2\alpha\beta|\leq2|\alpha|+|\beta|<3\delta $$ por lo que cualquier $0<\delta\leq\frac{1}{3}(y-2x-1)$ obras. En particular, se podría establecer $\delta=\frac{1}{3}(y-2x-1)$.

Voy a decir lo que podría resultar más confuso de cosas acerca de este son: el uso de 2 símbolos de $r$ $\delta$ para el radio (tal vez usted copió mal de él?) y el uso de diferentes notación que en el libro de texto: el profesor utiliza $x$ $y$ en lugar de $a$ $b$ como en el texto.

Edit: Una definición (entre otras definiciones equivalentes) de un conjunto abierto es que para cualquier punto en el set, hay un positivo radio (que puede depender del punto) de tal manera que el abrir la bola alrededor de la pelota con que la radio está completamente contenida en el conjunto.

Así que eso fue exactamente lo que el instructor: considere cualquier punto de $(x,y)\in S$, la construcción de un radio conveniente ($\delta=\frac{1}{3}(y-2x-1)$) y comprobar que el balón $B_\delta((x,y))$ está contenido en $A$.

Es muy sencillo, sólo tiene que ser consciente de sus definiciones.

Edit 2: Así que lo que sucedió fue

1. Considere la posibilidad de cualquier punto de $(x,y)\in A$
2. La construcción de un radio de $\delta=\frac{1}{3}(y-2x-1)>0$
3. Demostrar que cualquier punto de $z_0\in B_\delta(x,y)$ pertenece a $A$
4. Paso 3 se logra mediante la escritura de $z_0=(x+\alpha,y+\beta)$ y el uso de $$ y-2x-1>2\alpha\beta $$ para inferir que $$ (y+\beta)-2(x+\alpha)-1=(y-2x-1)-(2\alpha\beta)>0 $$ lo que demuestra $z_0\in A$.

Answer 2

Deje $f:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Como $]0,\infty[$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}$, fácilmente se puede comprobar que $$\{z\in\mathbb{C}:f(z)>0\} = f^{-1}\big[]0,\infty[\big]$$ es un conjunto abierto de $\mathbb{C}$.

En su caso, establezca $f(x,y) = y-2x-1$.