Qué $f(x,y)=(x^2y+x,6x+y^2)$ tiene una inversa de a $(1,1)$?

Question

Deje $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ser dada por $$ f(x,y)=(x^2y+x 6x+y^2). $$ Un cálculo directo muestra que $\det Df(1,1)=0$. El supuesto clave en el Teorema de la Función Inversa no está satisfecho.

Aquí está mi pregunta:

¿Existe un local inversa de a$f$$(1,1)$?

Answer 1

Desde $f(x,y)=(x^2y+x,6x+y^2)$, tenemos $$ \frac{\partial\,f}{\partial(x,y)} =\begin{bmatrix}2xy+1&6\\x^2&2y\end{bmatrix} $$ y $$ \det\begin{bmatrix}2xy+1&6\\x^2&2y\end{bmatrix}=4xy^2+2y-6x^2 $$ tenemos $$ \det\frac{\partial\,f(1,1)}{\partial(x,y)}=0 $$ Por lo tanto, el Jacobiano es singular en $(1,1)$.

Desde $$ \begin{bmatrix}1&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&6\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix} $$ la singular dirección es $\begin{bmatrix}1&-3\end{bmatrix}$. Mirando $$ f(1+t,1-3t)=\left(2-5t^2-3t^3,7+9t^2\right) $$ queremos restar $(2,7)$ y girar con $\begin{bmatrix}-5&9\\9&5\end{bmatrix}$ a alinear la cúspide con el $x$-eje. $$ (f(1+t,1-3t)-(2,7))\begin{bmatrix}-5&9\\9&5\end{bmatrix}=\left(t^2(106+15t),-27t^3\right) $$ Ajuste la dirección de una cantidad muy pequeña, vemos que $$ (f(1+t,1-(3-a)t)-(2,7))\begin{bmatrix}-5&9\\9&5\end{bmatrix}\approx(106t^2,-27t^3+19at) $$ que los lazos y se intersecta a sí misma en $t\approx\pm\sqrt{\frac{19a}{27}}$.

Aquí está la curva de $a=0.1$:

El punto de la auto-intersección se encuentra cerca de la aproximados punto de $(7.45926,0)$

Por lo tanto, no importa qué tan cerca de llegar a $(1,1)$, no es la imagen de una línea que se obtiene asignada a un bucle que intersecta a sí misma. Por lo tanto, la función no es invertible, cerca de $(1,1)$.