¿Por qué mi dinero converge a cero?

Question

Puedo invertir $\$1000$ in a stock. Every year, the stock price will either increase by $90\$ or decrease by $%50\%$.

El valor esperado del cambio en el precio es: $0.5\cdot90\% + 0.5\cdot(-50\%)= 20\% $

Me encontré con una simulación en excel y conseguí que el precio de las acciones converge a cero.

Puede alguien explicar por qué, o cómo puedo calcularlo?

Answer 1

Cada año, el valor de las acciones se presenta a la mitad o menos que duplicado, es decir, su valor se multiplica por $\frac{19}{10}<2$. Suponiendo que los dos eventos ocurren con la misma probabilidad, el valor promedio de las acciones después de la $n$ años está dada por: $$\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^k\cdot\left(\frac{19}{10}\right)^{n-k} = \left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{19}{10}}{2}\right)^n =\left(1+\frac{1}{5}\right)^n.$$ Sin embargo, con una probabilidad de $\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ el número de veces que el valor se pone a la mitad supera el número de veces que el valor se multiplica por $\frac{19}{10}$, es decir, con una probabilidad de $\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ el valor después de $n$ años es de menos de $\left(\frac{19}{20}\right)^{n/2}$, que cae rápidamente a cero. Así, a pesar del hecho de que el valor promedio de las acciones se incrementa cada año, estamos casi seguramente en ruinas.