Encontrar todos los polinomios : $ P(x^2-x)=xP(x-1)$

Question

Encontrar todos los polinomios $P(x) \in\mathbb{R}[x]$ satisfacción $$ P(x^2-x)=xP(x-1)$$

Por favor revise mi respuesta :

$P(0) =0$, lo $0$ es la raíz de $P(x)$ existe $Q(x)$ tal que $P(x)=xQ(x)$

a continuación,$(x^2-x)Q(x^2-x)=x(x-1)Q(x-1)$, lo $Q(x^2-x)=Q(x-1)$ donde $x \not= 0, 1$

Sustituto $x=2$, $Q(2) = Q(1)$

Sustituto $x=3$, $Q(6) = Q(2)$

Sustituto $x=7$, $Q(42) = Q(6)$

Sustituto $x=43$, $Q(43^2-43) = Q(42)$

Ya que hay infinidad de $x$ tal que $Q(x) = Q(1)$ $Q(x)$ es constante polinomio.

Por lo tanto, $P(x)=cx$ donde $c$ es constante.

Answer 1

Usted puede ir también con la forma canónica del polinomio: $p(x) =a_nx^n+...$ donde $a_n\ne 0$. Así tenemos $$a_n(x^2-x)^n+...= xa_n(x-1)^n+...$$ so $a_nx^{2n}=a_nx^{n+1}$. Since $a_n\ne 0$ we have $n=1$ or $n=- \infty $. So $p(x)=ax+b$ for some $a,b$. Pluging a partir de la ecuación tenemos:

$$a(x^2-x)+b= x(a(x-1)+b)\Longrightarrow ax^2-ax+b = ax^2+(-a+b)x$$

Por lo $p(x)=ax$ es la solución para cualquier $a$.