Determinar los grupos de Galois de polinomios

Question

Determinar los grupos de Galois de los siguientes polinomios sobre Q.

$f(x)=x^3−3x+1$.

$g(x)=x^4+3x+3$.

$h(x)=x^5+8x+12$.

No tengo manera de encontrar a sus grupos de Galois. Yo sólo se obtuvo que ya que son irreductibles, sus grupos de Galois son transitivos subgrupos de $S_3$, $S_4$, $S_5$ resp. Debo probar todas las posibilidades, uno por uno?

Answer 1

Así, para el primero se es $S_3$ o $A_3.$ La posibilidad de este último sólo se plantea si el discriminante es un cuadrado perfecto, por lo que se debe calcular. Para el segundo polinomio, es necesario comprobar si el discriminante es un cuadrado Y si el cúbicos resolvent es irreductible (el cúbicos resolvent para$g$$x^3 - 12x - 9$). De hecho, el discriminante es el mismo para el cuarto grado y el cúbicos resolvent. Si el cúbicos resolvent es irreductible, el grupo de Galois es $S_4$ o $A_4,$ dependiendo de si el discriminante es un cuadrado. Para el último polinomio, que deberían tener en cuenta que el modulo algunos de los números primos y a ver qué pasa. Por ejemplo, mod $3,$ el polinomio factores como $x(x^2+1)(x+1)(x-1),$, por lo que su grupo de Galois tiene una transposición, que, presumiblemente, significa que todo es de $S_5.$