¿Cómo modificar una matriz para que todos sus valores propios entren en el círculo unitario?

Question

Dejemos que $A$ sea un valor estrictamente positivo $n \times n$ matriz. Es decir, $a_{ij} >0, \ \forall i,j \in \{1,...n\}$ . Si algunos de los valores propios de $A$ están fuera o en el círculo de la unidad, me preguntaba si puedo encontrar un $n \times n$ matriz $B$ de manera que se cumplan las dos condiciones siguientes:

1) $B$ es elementalmente mayor o igual que $A$ . Es decir, $b_{ij} \geq a_{ij}, \ \forall i,j \in \{1,...n\}$ .

2) todos los valores propios de $B$ están estrictamente dentro del círculo unitario.

Answer 1

Desde luego, no siempre es posible.

Busca el Teorema de Perron-Frobenius. Toda matriz estrictamente positiva tiene un valor propio real positivo r llamado el Raíz de Perron tal que para todos los valores propios $\lambda$ de A $$|\lambda| \le r$$

El Teorema también da que r es mayor o igual que la suma mínima de filas de la matriz. Es decir, si A = $a_{ij}$ es una matriz nxn estrictamente positiva, $$\min\limits_{i} \sum\limits_{j}a_{ij} \le r \le \max\limits_{i} \sum\limits_{j}a_{ij}$$

(La parte máxima no importa para esta pregunta).

Así que si su matriz A tiene una suma mínima de filas mayor que 1, tendrá una raíz de Perron - y por lo tanto un valor propio - fuera del círculo unitario. Y tu B tiene claramente una suma mínima de filas mayor o igual que la suma mínima de filas de A.

Con más información sobre A, su problema puede ser posible. Pero no siempre es posible.

Answer 2

No puede suceder: el valor propio de Perron es una función no decreciente de las entradas de la matriz.

Matrices dadas $A$ y $B$ con todos $0 < a_{ij} \le b_{ij}$ , dejemos que $A(t) = A + t (B-A)$ . $A(t)$ tiene el valor propio de Perron $\lambda(t)$ con vectores propios positivos a la izquierda y a la derecha $w(t)^T$ y $v(t)$ . Ahora diferencie la ecuación $A(t) v(t) = \lambda(t) v(t)$ :

$$ \dfrac{dA}{dt} v(t) + A(t) \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d\lambda}{dt} v(t) + \lambda(t) \dfrac{dv}{dt} $$ Multiplica a la izquierda por $w(t)^T$ y restar $w(t)^T A(t) \dfrac{dv}{dt} = \lambda(t) w(t)^T \dfrac{dv}{dt}$ : $$ w(t)^T \dfrac{dA}{dt} v(t) = \dfrac{d\lambda}{dt} w(t)^T v(t) $$

Pero $w(t)^T \dfrac{dA}{dt} v(t) \ge 0$ y $w(t)^T v(t) > 0$ por lo que concluimos que $\dfrac{d\lambda}{dt} \ge 0$ . Así, $\lambda(1)$ el valor propio de Perron de $B$ es mayor o igual que $\lambda(0)$ el valor propio de Perron de $A$ .