$(1-2^{1-s})\zeta(s)$ es una función completa

Question

Mostrar que $(1-2^{1-s})\zeta(s)$ es toda una función, la cual es representada por la serie $$(1-2^{1-s})\zeta(s)=1-\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}-\dfrac{1}{4^s}+\cdots$$ for $\Re{s}>1$.

A partir de la definición que $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^s},$$ I want to multiply by $(1-2^{1-s})$. But it doesn't seem that the term $1-\dfrac{1}{2^s}+\ldots$ va a salir.

Answer 1

Parece que llego tarde a la fiesta, pero aquí es conceptualmente clara prueba de que podría ser beneficioso:

1. $ \zeta $ es meromorphic en $ \mathbb{C} $ con un polo de orden $ 1 $ (.k.una. un simple polo) a $ 1 $. (Esto pasa a ser la única que no es trivial el hecho de que tenemos, y vamos a dar por sentado.)

2. La asignación de $ s \longmapsto 1 - 2^{1 - s} = 1 - e^{(1 - s) \ln(2)} $ es, obviamente, todo.

3. La asignación de $ \eta: s \longmapsto (1 - 2^{1 - s}) \zeta(s) $ es así meromorphic en $ \mathbb{C} $ con (i) un simple poste de $ 1 $ o (ii) un polo de orden $ 0 $ (.k.una. una singularidad removible) a $ 1 $.

4. Si (yo) fuera el caso, entonces $ \displaystyle \lim_{s \to 1^{+}} |\eta(s)| = \infty $.

5. Afortunadamente, este es no es el caso porque $ \displaystyle \lim_{s \to 1^{+}} \eta(s) = \ln(2) $.

6. Por lo tanto, el Caso de (ii) se mantiene.

7. Conclusión: $ \eta $ se puede extender a una función cuyo valor en$ 1 $$ \ln(2) $. La validez de la serie representación ya ha sido probado por Aaron.

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Nota: con el fin De mostrar que el $ \displaystyle \lim_{s \to 1^{+}} \eta(s) = \lim_{s \to 1^{+}} (1 - 2^{1 - s}) \zeta(s) = \ln(2) $, podemos emplear la siguiente fórmula (a nivel de la universidad, prueba de que se puede encontrar aquí): $$ \forall s \in \mathbb{R}_{> 1}: \quad \zeta(s) = s \left( \frac{1}{s - 1} - \underbrace{\int_{1}^{\infty} \frac{\{ t \}}{t^{s + 1}} \mathrm{d}{t}} _{\text{Acotada arriba por $ 1 $}} \right), $$ donde $ \{ \cdot \}: \mathbb{R} \to [0,1) $ es el de fracciones de la función de la pieza. No se necesita más que una simple aplicación de la Regla de l'Hôpital para establecer que $$ \lim_{s \1^{+}} \frac{1 - 2^{1 - s}}{s - 1} = \ln(2). $$

Answer 2

Para la serie de la representación: \begin{align} \zeta(s) &= 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+ \cdots \\ 2^{1-s}\zeta(s) = \frac{2}{2^s}\zeta(s) &= 2(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+ \cdots) \end{align}

Restar las dos y las condiciones serán negados: $$(1-2^{1-s})\zeta(s) = 1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+ \cdots$$