La suma de todos los enteros de $1$ a $p$ es divisible por $p$ y todos los números primos antes de $p$ . Encuentre todas las soluciones posibles para $p$ con pruebas. Aquí $p$ es un número primo.
Se trata de un problema de preparación para el próximo BdMO. No encuentro la manera de empezar. Cualquier pista será útil.
$$\sum_{k=1}^p k=\frac{p(p+1)}{2}$$ Si $p$ es impar, entonces $p+1$ es par, y este número entero es factor de $p$ y $\frac{p+1}{2}$ . Cualquier primo diferente a $p$ no puede dividir $p$ por lo que si cada primo $q$ que es menos que $p$ divide el número $p\cdot (\frac{p+1}{2})$ , entonces todos ellos deben dividir el número $\frac{p+1}{2}$ .
Pero siempre hay un primer $q$ tal que $(\frac{p+1}{2})<q<2(\frac{p+1}{2})=p+1$ cuando $\frac{p+1}{2}>1$ por el postulado de Bertrand ( Enlace a Wikipedia ), y tal primo no puede entrar en $\frac{p+1}{2}$ ya que es más grande que ella. Dicho primo también es menor que $p$ a menos que $p=q=2$ . Además, $\frac{p+1}{2}>1$ para cualquier primo impar $p$ .
Así, las únicas posibilidades son $p=2$ y $p=3$ y se puede comprobar fácilmente que la declaración sólo es válida para $p=3$ . (Para $p=2$ tenemos $2\nmid 3$ y para $p=3$ tenemos $2\mid 6$ y $3\mid 6$ .)
Dejemos que $p_n$ sea el $n$ - el primer lugar.
Por el postulado de Betrand, $p_n < 2^n$ para $n > 1$ y por lo tanto $S_n:=\dfrac{p_n(p_n+1)}{2} < 2^{2n-1} + 2^{n-1} < 2^{2n} = 4^n$ .
Pero $5 < p_n$ para $n > 3$ así que $P_n:=\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i > 5^{n-1}$ para $n > 3$ .
Desde $P_n$ debe dividir $S_n$ entonces $P_n \leq S_n$ Así que, o bien $5^{n-1} < 4^n$ y $n > 3$ o $n\leq 3$ .
El primer caso significa que $n < 8$ desde $5^7 > 4^8$ y por lo tanto $5^{n-1} > 4^n$ para $n\geq 8$ .
$p_1 = 2$ y $S_1 = 3$ pero $2 \leq 2$ y $2\nmid S_1$ .
$p_2 = 3$ y $S_2 = 6$ es divisible por $P_2 = 6$ . Así que $p=3$ es una solución.
$p_3 = 5$ y $S_3 = 15$ pero $2 < 5$ y $2\nmid S_3$ .
$p_4 = 7$ y $S_4 = 28$ pero $3 < 7$ y $3\nmid S_4$ .
$p_5 = 11$ y $S_5 = 66$ pero $7 < 11$ y $7\nmid S_5$ .
$p_6 = 13$ y $S_6 = 91$ pero $3 < 13$ y $3\nmid S_6$ .
$p_7 = 17$ y $S_7 = 153$ pero $2 < 17$ y $2\nmid S_7$ .
La única solución para $p$ es $3$ .
Dejemos que $p_n$ denotan el $n$ -en primer lugar. Nótese que $1+2+\cdots+p_n = p_n\cdot\dfrac{p_n+1}{2}$ .
Por el postulado de Bertrand, $p_n < 2p_{n-1}$ . Por lo tanto, $0 < \dfrac{p_n+1}{2} < \dfrac{2p_{n-1}+1}{2} < 2p_{n-1}$ .
Por lo tanto, $\dfrac{p_n+1}{2}$ no es divisible por $2p_{n-1}$ .
Si $n \ge 3$ entonces $2$ y $p_{n-1}$ son primos distintos, por lo que $\dfrac{p_n+1}{2}$ no es divisible por ambos $2$ y $p_{n-1}$ .
Entonces, como $p_n$ es distinto de $2$ y $p_{n-1}$ tenemos $p_n\cdot\dfrac{p_n+1}{2}$ no es divisible por ambos $2$ y $p_{n-1}$ .
Por lo tanto, $1+2+\cdots+p_n$ no es divisible por todos los $p_1 = 2, \ldots, p_{n-1}, p_n$ para $n \ge 3$ .
Para $n = 1$ tenemos $p_1 = 2$ y $1+2 = 3$ no es divisible por $p_1 = 2$ .
Para $n = 2$ tenemos $p_2 = 3$ y $1+2+3 = 6$ es divisible por $p_1 = 2$ y $p_2 = 3$ .
Por lo tanto, la única prima $p$ tal que $1+2+\cdots+p$ es divisible por todos los primos menores o iguales a $p$ es $p = 3$ .
La forma obvia de empezar sería comprobar los resultados de unos pocos números pequeños y revisar los patrones descubiertos.
Para cualquier primo impar $p$ la suma de números $s$ de $1$ a $p$ es divisible por $p$ : $s=\frac 12 p(p+1)$ y $2\nmid p$ (o para una razón más intuitiva, puede formar los números que aparecen a continuación $p$ en pares separados que suman $p$ ). Al examinarla, podemos ver que $2 \nmid (1+2)$ .
Mirando esta suma, está claro que todos los primos por debajo de $p$ necesidad de dividir $\frac{p+1}{2}$ . Sin embargo, para los primos $7$ y mayores, el producto de todos los primos menores es mayor que el primo en cuestión, por lo que sólo tenemos que considerar $p=3$ y $p=5$ . Para $p=5$ , $\frac{p+1}{2}$ es impar por lo que esto se elimina y sólo $p=3$ se ajusta a los criterios.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
