Cómo calcular $\text{liminf}\frac{ \varphi(2^n-1)}{2^n}$

Question

Dejemos que $\varphi$ denotan la función de Euler. ¿Cómo puedo calcular $\liminf_n \frac{\varphi(2^n-1)}{2^n}$ ?

Answer 1

1. Si $p_1,...,p_k$ son algunos divisores primos distintos de $n$ entonces $\frac{\varphi(n)}{n}\leq \frac{(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)}{p_1p_2...p_k}$ . Para la prueba, véase Función totiente de Euler

2. $\forall \varepsilon \in \mathbb R >0 \quad \exists k\in \mathbb N \quad \text{s.t}\quad \frac{(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)}{p_1p_2...p_k}<\epsilon$ cuando $p_i$ es el $i$ número primo. Porque $\infty=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}=\frac{1}{\frac{(p_1-1)(p_2-1)...}{p_1p_2...}}$
   Puedes ver Divergencia de la suma de los recíprocos de los primos

3. Si $a|b$ entonces $2^a-1|2^b-1$

4. Por El pequeño teorema de Fermat $p_i|2^{p_i-1}-1$ para todos $1\leq i \leq k$

Si ponemos $n=(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)$ entonces por 3 y 4 podemos concluir $p_i|2^n-1$

Así, por 1 $$ \frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1}<\varepsilon$$

y por 2 $$\liminf_n \frac{ \varphi(2^n-1)}{2^n}=0$$