Demuestre que la distribución de Weibull puede transformarse en una familia exponencial

Question

¿Cómo puedo mostrar la distribución de Weibull $f:(y; \lambda, \rho)$ se puede transformar a la familia exponencial utilizando la transformación $z=y^\lambda$ ?

Sé que la forma en que debo expresarlo es

$$\exp\lbrace(y.\theta - b(\theta)/a(\phi))+c(y,\phi)\rbrace$$

pero no estoy seguro de cómo llegar.

Answer 1

Aunque esto está lo suficientemente lejos en el tiempo como para que sea razonable mostrarlo todo, dejaré algunas cosas por hacer. Tenga en cuenta que esta no es la misma parametrización en la pregunta (de nuevo, esto deja al menos algo para el lector).

Realmente, no hay mucho que hacer aquí - es sólo la transformación que dice que hacer, en cualquiera de las formas obvias de hacerlo. (De hecho, si usted está acostumbrado a este tipo de cosas que usted puede hacer por la inspección, casi a lo largo de estas líneas en "i)" - reconocer que $(X/\lambda)^k$ está en el término exp, y su derivada está por delante... lo que significa que si transformas por la función dentro del término exp obtienes una densidad exponencial estándar -- entonces reconoce que el $\lambda$ es un factor de escala que no cambiará nada más que el parámetro exponencial, por lo que el resultado de transformar por $X^k$ debe ser una densidad exponencial)

Hay un par de maneras de verlo.

i) Voy a esbozar una transformación estrechamente relacionada que conduce a través de los pasos, pero voy a dejar la transformación exacta aún por hacer.

$f(x;\lambda,k) =\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} \: x\geq0$

(y 0 en otros lugares, naturalmente)

Así que considere $Y=(X/\lambda)^k$ para lo cual $dy = \frac{k}{\lambda} (x/\lambda)^{k-1} dx$

Por lo tanto, $f(y) = e^{-y}\,,\quad y>0$ , que es de familia exponencial.

De forma similar, se podría abordar $Z=X^k$ como en la pregunta

ii) Primeros principios

$P(Z\leq z) = P(X^k\leq z)= P(X\leq z^{1/k})= F_X(z^{1/k})$

Por lo tanto, $f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_X(z^{1/k}) = f_X(z^{1/k}) . \frac{1}{k}\,z^{\frac{1}{k}-1}$

Así que

$f(x;\lambda,k) =\frac{k}{\lambda}\left(\frac{z^{1/k}}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(z^{1/k}/\lambda)^{k}}\cdot \frac{1}{k}\,z^{\frac{1}{k}-1}=...$