La existencia de minimizer en el espacio de Sobolev

Question

Deje $B\subset \mathbb R^2$ ser una unidad de pelota. deje $v\in W^{1,2}(B)$ ser dado. Sabemos que $0\leq v\leq 1$ y es posible que $v=0$ positivos $\mathcal L^2$ medibles conjunto en $B$.

Deje $w\in W^{1,2}(B)$, así.

Definir $$ \bar u:=\operatorname{argmin}\left\{\int_B|\nabla u|^2v^2,\,u\W^{1,2}(B),\,\, T[u]=T[w]\right\} $$ donde $T$ el valor del estándar de seguimiento del operador.

Mi pregunta: ¿tenemos $\bar u\in W^{1,2}(B)$ existen? (No me importa acerca de la unicidad)

Answer 1

Aquí es una idea que se me ocurrió después de @Svetoslav comentario en mi última respuesta. Creo que puede ser mejorado para su caso. Deje $I=(0,1)$$v(x)=x$$x\in I$. Deje $$W=\{u\in W^{1,2}(I):\ u(0)=1,\ u(1)=0\}.$$

Definir $J$ $$J(u)=\int x^2 |u'|^2.\ \forall\ u\in W.$$

Debido a $u$ es absolutamente continua y $u(0)=1$, $u(1)=0$, debemos llegar a la conclusión de que $u'$ no es igual a cero.e., lo que implica que $J(u)>0$.

Voy a mostrar que hay una secuencia $u_k\in W$ tal que $J(u_k)\to 0$. De hecho, vamos a

$$ u_k(x) = \begin{cases} -kx+1 & \quad \text{if } x\in [0,1/k], \\ 0 & \quad \text{if } x\in [1/k,1].\\ \end{casos} $$

Tenga en cuenta que $$J(u_k)=\int_0^{1/k} x^2k^2=\frac{1}{3k},$$

por lo tanto, $J(u_k)\to0$ si $k\to \infty$. Llegamos a la conclusión de que $J$ no tiene un mínimo en $W$.