Estoy empezando el "Manual de Álgebra Categórica" de Borceux. Comienza con una breve discusión de los fundamentos lógicos de la teoría de las categorías. Describe dos enfoques: 1.Definiendo universos y 2.Con la teoría de conjuntos NBG. Con la teoría de conjuntos NBG. Me interesa el segundo enfoque, por lo que quiero estudiar la axiomática de ese sistema. El libro que busco debe presentar la construcción lógica de la teoría y algunos resultados importantes como demostrar que NBG es una extensión de ZFC, algunos resultados sobre la teoría de modelos y una discusión profunda de su aplicabilidad a la teoría de categorías si es posible.
Respuestas
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Lamentablemente, no hay muchas fuentes sobre este tema tan importante porque los universos de Grothendieck se han impuesto como la "solución" a las colecciones que son demasiado grandes para ser conjuntos. No sé por qué.
Dicho esto, hay un libro maravilloso sobre la teoría de conjuntos NBG por Smullyan abd Fitting, Teoría de conjuntos y el problema del continuo Creo que te será muy útil. Pero ten cuidado: muchas impresiones de Dover salieron con símbolos faltantes y el resultado fue un desastre. Yo me quedé con uno. Así que asegúrate de que el libro no está defectuoso antes de comprarlo; pregunta.
En cuanto a la relación con la teoría de las categorías, no hay libros propiamente dichos (aunque debería haberlos),pero hay varios libros que mencionan el tema.Hay una breve pero informativa discusión en el libro de Adamek,et. al. La alegría de los gatos en línea. También hay una sección buena pero más sofisticada en el libro de texto de lógica matemática de mi antiguo profesor, Elliot Mendelson, donde se detallan las sutilezas lógicas de forma interesante.
También es importante saber que NBG no es la única forma de teoría de conjuntos que se ha propuesto con clases propias para actuar como fundamento unificado tanto para la teoría de categorías como para la teoría de conjuntos. Por ejemplo, hay una forma modificada de los Nuevos Fundamentos de Willard Quine que parece bastante prometedora y que tiene axiomas algo diferentes de los de NBG (Nota: la formulación original de NF de Quine, que inicialmente tuvo una gran respuesta positiva por parte de los matemáticos y los lógicos, se encuentra con un gran obstáculo en su forma original: A saber, ¡se puede refutar el axioma de elección dentro de cualquier sistema axiomático consistente del mismo! Los matemáticos, principalmente Tom Forster en Cambridge, han creado desde entonces versiones modificadas de NF, equivalentes a ZFC para clases "pequeñas" que evitan este problema). Una buena presentación de la teoría básica puede encontrarse en el libro de texto en línea de Holmes, disponible aquí .
mrseaman
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Mendelson's Introducción a la lógica matemática tiene un buen desarrollo de los hechos básicos de la teoría de conjuntos en NBG e incluye una discusión de su relación con ZFC (es una extensión conservadora de ZF, y por lo tanto la teoría de modelos de NBG es esencialmente la misma que la de ZF). En cuanto a una discusión profunda de su aplicabilidad a la teoría de categorías, no conozco ninguna. El sistema MK introducido en el apéndice del libro de Kelley sobre topología es probablemente más cercano a la práctica ordinaria en la teoría de categorías, ya que es común cuantificar sobre todos los elementos de una clase propia en las construcciones categóricas. Ambos sistemas le permitirán hablar de grandes categorías particulares, por ejemplo, espacios topológicos o grupos, y de funtores particulares entre ellos, por ejemplo, el funtor de grupo fundamental. Ninguno de los dos sistemas permite hablar de forma muy satisfactoria de las categorías grandes en general.
pigeonhole
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11
Dos referencias que enumeran los axiomas de NBG son
(1) Capítulo uno de la monografía de Godel de 1940 titulada "La consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos"
(2) Capítulo II artículo 7 en Foundations of set theory de Fraenkel, Bar-Hillel y Levy.
Observación: NBG es una extensión conservadora de ZF - Véanse las páginas 131-32 de la referencia (2) anterior para un esquema de prueba. Aunque NBG es finitamente axiomatizable, esto no es una ventaja real. Godel utilizó este sistema en (1) sólo para tener una definición más económica del universo construible.
También hay un sistema llamado Morse-Kelley (más fuerte que ZF) sobre el que se puede leer en el apéndice de la topología general de Kelley y también en Wikipedia.
