¿Por qué mi cálculo de $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x)$ ¿se equivoca?

Question

Declaración :

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x)$

Esta es mi solución:

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2(1+ \frac1x )}-x)$

$\lim_{x\to \infty} (x\sqrt{(1+ \frac1x )}-x)$

Como $x\to \infty$ , $\sqrt{(1+ \frac1x )}\to 1$

Por lo tanto, como $x\to \infty$ , $x -x = 0$

Answer 1

El problema está justo después de la línea $\lim \limits_{x \to \infty} x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x$ . No puedes decir simplemente $x - x$ va a $0$ . Sí, lo hace, pero no tenemos $x - x$ . Tenemos $$x \cdot( \text{something}) - x$$ que hay que tener en cuenta en $$x \cdot (\text{something} - 1).$$

Así que deberías tener: \begin{split} \lim \limits_{x \to \infty} x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x &= \lim \limits_{x \to \infty} x \left (\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 \right )\end{split}

Sugerencia : Prueba a multiplicar $x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1)$ por $1$ en forma de $\frac{(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)}{(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)}$ .

EDITAR: Sólo quiero decir con más detalle lo que hiciste mal: tomaste el límite como $x \to \infty$ de la expresión $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ primero e ignoró el otro $x$ 's. No puedes hacer eso. Cuando envías $x$ a $\infty$ , tienes que enviar todo de la $x$ 's a $\infty$ al mismo tiempo. No se puede elegir ciertos $x$ para enviar a $\infty$ e ignorar a los demás. Por eso, cuando se resuelven estos problemas, primero hay que simplificar la expresión sin el límite utilizando el álgebra legal, y luego, una vez que se llega a una nueva forma, se intenta tomar el límite.

Answer 2

Tenga en cuenta que es

\begin{align}\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)&\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\\&=\frac12.\end{align}

¿En qué te equivocas? Si $\lim_{x\to\infty} f(x)=1$ entonces no se puede concluir que $$\lim_{x\to\infty} (xf(x)-x)=0.$$ Un ejemplo más fácil de realizar es el siguiente $f(x)=1+\frac 1x.$ Es $$xf(x)-f(x)=1,\forall x.$$

Answer 3

Toma un ejemplo:

$\lim_{x\to\infty}(1+{1\over x})\to 1$

¿Implica esto que $\lim_{x\to\infty}x(1+{1\over x})\to x$ ?

Sugerencia: Romper y comprobar.

Answer 4

Límites que se evalúan como $\infty-\infty$ o $0*\infty$ son formas indeterminadas, y deben ser evaluadas con cuidado.

Puede que no te hayas dado cuenta, pero en tu cálculo has evaluado el límite de la suma como la suma de los límites (cuando has tratado el término de la izquierda como sólo $x$ ). Esto sólo se justifica si existen ambos límites.

Answer 5

Las otras respuestas son correctas y te dan el método correcto para evaluar el límite. En esta respuesta intentaré dar alguna intuición de por qué tu método era incorrecto.

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En primer lugar, dejemos que $$ f(x) = \sqrt{1+\frac1x}-1. $$ Claramente, $f(x)\to0$ como $x\to\infty$ .

Ahora veamos su límite. Puedes escribirlo como $$ \lim_{x\to\infty} x\cdot f(x). $$ ¿Ves el problema? Su método dice que, como $f(x)\to0$ Entonces puedo reemplazar $xf(x)$ por cero y, por tanto, el límite es cero. Sin embargo, $f(x)$ se multiplica por $x$ que va hasta el infinito.

A grandes rasgos, queremos ver las velocidades relativas del crecimiento de $x$ y la decadencia de $f(x)$ . Por ejemplo, si $f(x)$ decae más lentamente que $x$ crece, entonces su producto llega al infinito.

Entonces, ¿cómo $f(x)$ ¿decadencia? Aquí podemos aplicar el aproximación útil $^1$ $$ |y| \ll 1 \implies \sqrt{1+y} \approx 1+\frac y2. $$ Así que cuando $x$ es muy grande, $1/x$ es muy pequeño, y podemos aproximar $f(x)$ por $$ f(x) \approx 1 + \frac{1}{2x} - 1 = \frac{1}{2x}. $$ Por lo tanto, cuando $x$ es muy grande, $$ x\cdot f(x) \approx x\cdot\frac{1}{2x} = \frac12. $$

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$^1$ Esta aproximación es útil en este ejemplo para comprender el comportamiento de su función. No lo hagas utilizarlo para evaluar el límite; en su lugar, utiliza los métodos de las otras respuestas.