Suma a $n$ términos de la serie

Question

Halle la suma de los $n$ términos de la serie:

$$0.3+0.33+0.333+0.3333+\cdots$$

Mi Intento: Vamos $$S=0.3+0.33+0.333+0.3333+\cdots \text{ to $n$ terms}$$ $$=\frac {3}{10}+\frac {33}{100}+\frac {333}{1000} + \frac {3333}{10000}+\cdots$$ $$=\frac {3}{10} \left[1+\frac {11}{10}+\frac {111}{100}+\frac {1111}{1000}+\cdots \text{ to $n$ terms}\right]$$

¿Cómo puedo seguir desde aquí?

Answer 1

Escriba su suma a $n$ términos como $$S_n=0.3+(0,3+0.03)+(0.3+0.03+0.003)+\ldots +(0.3+0.03+0.003+\ldots 0.000000000003)$$ Ahora debes tener en cuenta que $n$ términos $0.3$, $n-1$ términos $0.03$, $n-2$ términos de $0.003$ y así sucesivamente, por lo que $$S_n=0.3 n+0.03(n-1)+0.003(n-2)+\ldots+3\cdot 10^{-n}(1)\\ S_n=\sum_{i=1}^n3\cdot 10^{-i}(n+1-i)$$ y tenemos un montón de preguntas que sumar el arithmo-serie geométrica.

Answer 2

Vamos $$S_n=0.3+0.33+0.333+0.3333+\cdots \text{ to $n$ terms}$$ $$=\underbrace{\frac {3}{10}+\frac {33}{100}+\frac {333}{1000} + \frac {3333}{10000}+\cdots}_n$$ $$=3\left(\frac {1}{10}+\frac {11}{100}+\frac {111}{1000} + \frac {1111}{10000}+\cdots\right)$$ $$=3\left(\frac {1}{10^1}+\frac {11}{10^2}+\frac {111}{10^3} + \frac {1111}{10^4}+\cdots\right)$$ $$=3\left(\frac {\sum_{k=0}^010^k}{10^1}+\frac {\sum_{k=0}^110^k}{10^2}+\frac {\sum_{k=0}^210^k}{10^3} + \frac {\sum_{k=0}^310^k}{10^4}+\cdots+\frac {\sum_{k=0}^{(n-1)}10^k}{10^n}\right)$$

Y $$\frac{1}{10^{n}}\left(\sum_{k=0}^{n-1}10^k\right)= \frac{1}{10^{n}}\left(\frac{10^{n}-1}{9}\right) = \frac{1}{9}\left(1 - \frac{1}{10^n}\right) = \frac{1}{9}\left(1 - 10^{-n}\right)$$ Por lo tanto \begin{align} S_n &= 3\left(\sum_{k=1}^n\left[\frac{1}{9}\left(1 - 10^{-k}\right)\right]\right)\\ &= \frac{3}{9}\sum_{k=1}^n\left(1 - 10^{-k}\right)\\ &= \frac{1}{3} \left( \sum_{k=1}^n 1 - \sum_{k=1}^n10^{-k}\right)\\ &= \frac{1}{3} \left( n- \sum_{k=1}^n10^{-k}\right)\\ &= \frac{1}{3} \left( n- \frac{1}{9}\left(1 - 10^{-n}\right)\right) \end{align}

$$S_n = \frac{1}{27}\left(10^{-n}+ 9n -1\right) $$

Answer 3

$$\dfrac {3}{10} \left(1+\dfrac {11}{10}+\dfrac {111}{100}+\dfrac {1111}{1000}+\ldots\right) \\ =\dfrac {3}{10} \left(\dfrac{1}{10^0}+\dfrac {10 +1}{10^1}+\dfrac {10^2 +10 +1}{10^2}+\dfrac {10^3+10^2+10+1}{10^3}+\ldots\right) $$ Cada fracción tiene un (finito) de la serie geométrica en el denominador (existe una fórmula para ellas), y una potencia de diez en el denominador. $$=\frac3{10}\sum_{k=0}^{n-1} \frac1{10^k} \sum_{j=0}^k 10^j .$$

Answer 4

Usted necesita para calcular el $$A=1+\dfrac {99\div 9}{10}+\dfrac {999\div9}{100}+\dfrac {9999\div 9}{1000}+...+\dfrac{(10^{n}-1)\div9}{10^{n-1}}$$

$$\begin{equation}\begin{aligned} A&=\frac {3}{10} \left(1+\frac {11}{10}+\frac {111}{100}+\frac {1111}{1000}+\cdots +\frac{(10^{n}-1)\div9}{10^{n-1}}\right) \\ &=1+\dfrac {99\div 9}{10}+\dfrac {999\div9}{100}+\dfrac {9999\div 9}{1000}+\cdots+\dfrac{(10^{n}-1)\div9}{10^{n-1}} \\ &=1+\dfrac{99\times10^{n-2}\div9}{10^{n-1}}+\dfrac{999\times10^{n-3}\div9}{10^{n-1}}+\cdots+\dfrac{(10^{n}-1)\div9}{10^{n-1}} \\ &=1+\dfrac{(10^2-1)\times10^{n-2}+(10^3-1)\times10^{n-3}+(10^4-1)\times10^{n-4}+\cdots+(10^n-1)}{9\times 10^{n-1}} \\ &=1+\dfrac{10^n-10^{n-2}+10^n-10^{n-3}+10^n-10^{n-4}+\cdots+10^n-1}{9\times 10^{n-1}}\text{ (%#%#% terms)}\\ &=1+\dfrac{(n-1)10^n-(10^0+10^1+10^2+\cdots+10^{n-3}+10^{n-2})}{9\times 10^{n-1}} \end{aligned}\end{equation}$$

Continuar para calcular

$$\begin{equation}\begin{aligned} B&=10^0+10^1+10^2+\cdots+10^{n-3}+10^{n-2} \\ 10B&=10^1+10^2+10^3+\cdots+10^{n-2}+10^{n-1}\\ \Rightarrow9B&=10B-B=10^{n-1}-1\\ B&=\dfrac{10^{n-1}-1}{9} \end{aligned}\end{equation}$$

Podemos concluir que

$$\begin{equation}\begin{aligned} A&=1+\dfrac{(n-1)10^n-\dfrac{10^{n-1}-1}{9}}{9\times 10^{n-1}} \end{aligned}\end{equation}$$

Answer 5

Multiplicar la suma por $3$ y añadir $0.111\cdots1$ ($n$ los decimales). Consigue $n$, por la distribución de los queridos.

Pero $0.111\cdots1=\dfrac19-\dfrac{10^{-n}}9$ (el sustraendo cancela la cola).

Por lo tanto

$$S=\frac{n-0.111\cdots1}3=\frac{9n-1+10^{-n}}{27}.$$

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Sin palabras:

$$\begin{matrix}3\times&0.3&+0.33&+0.333&+0.3333\\ +&0.1&+0.01&+0.001&+0.0001\\ \hline\\ =&1&+1&+1&+1\end{matriz}$$

y

$$\begin{align}&0.1111111111111111\cdots\\ -&0.0000111111111111\cdots\\\hline =&0.1111 \end{align}$$