Tenga en cuenta que la primera definición se refiere a una base para una determinada topología, y el segundo, a un conjunto $\mathcal{B}$ que funcionará como base para una topología, no se da, sino que lo determina o generados por $\mathcal{B}$.
La fundamental cosa sobre una base, decir $\mathcal{B}$, es que cualquier conjunto abierto en la topología para que $\mathcal{B}$ es una base es una unión de elementos de $\mathcal{B}$.
Aviso en la primera definición, el hecho de que para cualquier conjunto abierto $V$ tiene un conjunto básico $U_{x}$ intercala entre cada punto de $x$ $V$ hace que cada conjunto abierto una unión de elementos de la base, yo.e: $V=\bigcup_{x\in V} U_{x}$, una unión de conjuntos básicos.
La segunda definición es acompañado generalmente por algo un largo de las líneas de:
La topología $\mathcal{T}$ generado por la base de $\mathcal{B}$ está definido por: Un conjunto $V$ se llama abrir en $X$ (que es $V\in\mathcal{T}$) si para cada una de las $x\in V$ no es un porcentaje ($B_{x}\in\mathcal{B}$tal que $x\in B_{x}\subset V$.
Observe que en este caso también cualquier conjunto abierto en la topología $\mathcal{T}$ generado por la base de $\mathcal{B}$ será una unión de elementos de $\mathcal{B}$. El hecho de que una topología definida en la forma descrita anteriormente es en realidad bien definida (me refiero en realidad cerrada bajo uniones e intersecciones finitas) depende exclusivamente de que los dos requisito para ser un base que se cumplan. Yo lo veo como esto:
Queremos crear una topología en la que ciertos conjuntos de nuestra selección están abiertas, para que sea una topología tenemos que cerrar nuestro conjunto bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones. Pero si tenemos suerte y nuestro sistema cumple con los dos requisitos dados en la definición de una base, cierre bajo arbitraria de los sindicatos es suficiente, cierre bajo finito intersecciones es ya de cuidado fuera. Esto es visto a través de un argumento similar a la presentada anteriormente, dado $B_{1},B_{2}\in\mathcal{B}$, para cualquier $x\in B_{1}\cap B_{2}$ no es un porcentaje ($B_{x}\in\mathcal{B}$tal que $x\in B_{x}\subset B_{1}\cap B_{2}$, haciendo que este conjunto de ($B_{1}\cap B_{2}$) de una unión de elementos de $\mathcal{B}$. Recapulating: quiero incluir $B_{1}\cap B_{2}$ en mi topología, pero si $\mathcal{B}$ es una base, ya he incluido cuando he añadido todos los sindicatos de todos los elementos de a $\mathcal{B}$ a mi topología.
Tratando de darle algo de intuición en el punto de hablar de las bases, tal vez usted puede tratar y formalizar una prueba de la equivalencia que quieres ahora.
