¿Por qué el grado de un haz de líneas es igual al grado del mapa inducido por el grado de la imagen más el grado del lugar base?

Question

Dejemos que $L$ sea un haz de líneas sobre una curva suave $C$ . Si $L$ es el rango $r+1$ , definen el mapa inducido (como Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris):

$$\begin{aligned}\phi :& C \rightarrow \mathbb P|L|^*\\&p \mapsto \{s\in |L|:s(p) =0\}\end{aligned}$$

Dejemos que $B$ sea el lugar base de $L$ y que $C'$ denotan la imagen del mapa anterior. ¿Por qué se deduce de esto que $\deg(L)=\deg(C')\deg(\phi) + \deg(B)$ ?

ACGH afirma que esto se desprende inmediatamente de la descripción local del mapa anterior, pero no veo cómo. ¿Podría alguien explicarlo? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $L$ está libre de puntos de base primero. Sea $\phi_1:C\to C'$ sea el morfismo restringido. Ahora $\phi$ es un morfismo finito de curvas. Por construcción, $$ L=\phi^\ast(\mathscr O(1))=\phi_1^\ast \mathscr O(1)|_{C'}\,\Rightarrow\,\deg L=(\deg\phi_1)(\deg C')=(\deg\phi)(\deg C'). $$ El locus base de $\phi$ puede considerarse como el divisor efectivo $B=\sum_{P\in C}n_P[P]$ donde todas las secciones de $H^0(C,L)$ desaparecer. El grado $\deg L$ es el número de ceros menos el número de polos de cualquier sección racional de $L$ . Pero el mapa racional $\phi:C\dashrightarrow \mathbb P(|L|)^\vee$ es indefinido exactamente en los puntos $P$ en apoyo de $B$ . Así que cualquier punto de este tipo tiene que contribuir a $\deg L$ (necesariamente por $n_P$ ).

Añadido . Más sobre $\deg \phi_1^\ast \mathscr O(1)|_{C'}=(\deg\phi_1)(\deg C').$

Para un morfismo finito de curvas $f:C\to C'$ y para cualquier divisor $D\subset C'$ tenemos $f_\ast[f^\ast D]=(\deg f)[D]$ como ciclos en $C'$ . En particular, tenemos $\deg f_\ast[f^\ast D]=(\deg f)(\deg D)$ . Permítanme ser más preciso: $$ \deg f^\ast[D]:=\int_Cf^\ast[D]=\int_{C'}f_\ast[f^\ast D]=\int_{C'}(\deg f)[D]=(\deg f)\int_{C'}[D]=:(\deg f)(\deg D). $$ Para nosotros, $D=\mathscr O(1)|_{C'}$ que tiene el grado $\deg C'$ (Utilizo, aquí, la definición de grado como el número de puntos en la intersección $C'\cap H$ con un hiperplano general: parece más natural en este contexto, ya que $\mathscr O(1)$ corresponde a un hiperplano, y $\mathscr O(1)|_{C'}$ corresponde a la intersección de $C'$ con un hiperplano).

Añadido .

Aparte de la igualdad $f_\ast[f^\ast D]=(\deg f)[D]$ El único problema no trivial en las ecuaciones mostradas es la segunda igualdad. En ella, utilizamos la funtorialidad del grado. El grado de un ciclo en una variedad (propia) $Y$ se puede definir (Fulton, Teoría de la intersección ) como operador $$\deg_Y(\cdot)=\int_Y\cdot=p_\ast(\cdot)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{(these are synonyms!)}$$ La funtorialidad dice entonces que si tenemos un morfismo $f:X\to Y$ (con $X$ propio) entonces para un ciclo $\alpha$ en $X$ tenemos $\deg_X(\alpha)=\deg_Y(f_\ast\alpha)$ .