Tenemos esta desigualdad (sobre los números reales) : $$x^2-2x\le \frac{\sqrt{1-\lfloor x\rfloor^2}}{\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor}$$
Cómo podemos resolver utilizando ambos algebraicas y geométricas de los métodos ?
Respuestas
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Sugerencia: $x$ no pueden ser entero, de lo contrario el denominador de la RHS sería $0$.
Por lo $x$ no es entero, que da $\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor=-1$
También se $\lfloor x \rfloor\in\{-1,0,1\}$ ya que debe ser entero y $1-\lfloor x\rfloor^2>0$ que es equivalente a $\lfloor x\rfloor^2<1$.
A continuación, puedes resolver en cada intervalo de $-1<x<0$, $0<x<1$, y $1<x<2$
EDIT: Para una solución geométrica, me gustaría parcela $x^2-2x$ y me gustaría observar que el lado derecho es $0$ o $-1$.
Nicolas FRANCOIS
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RHS se define sólo por $-2< x<2$ $x\ne0$ ..
Si $-1<x<0$ o $0<x<1$, entonces el lado derecho es $\frac{1}{-1}=-1$. Solucionar $x^2-2x+1\le0$ y mantener sólo las soluciones en el intervalo inicial.
Si $1\le |x|<2$, RHS es $0$, solucionar $x^2-2x\le 0$ y mantener sólo las soluciones en intervalos de $\left]-2,-1\right]$$\left[1,2\right[$.
Recuerde, cuando usted encuentra algo como $\lfloor x\rfloor$ o $\left|x\right|$, pruebe primero para darle un valor al hacer hipótesis sobre las posiciones de los $x$.
Ataulfo
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$$\begin{cases}x= \lfloor x\rfloor+\{x\}\\-x= \lfloor -x\rfloor+1-\{x\}\end{cases}\Rightarrow\lfloor x\rfloor+\lfloor -x\rfloor=-1$$
$$\sqrt{1-\lfloor x\rfloor^2}=\begin{cases}0 \text{ if } -1\le x\lt0\\1\text{ if } 0\le x\lt1\\0 \text{ if } 1\le x\lt2\end{cases}$$ De ahí $$\frac{\sqrt{1-\lfloor x\rfloor^2}}{\lfloor x\rfloor+\lfloor -x\rfloor}=\begin{cases}0 \text{ if } -1\le x\lt0\\-1\text{ if } 0\le x\lt1\\0 \text{ if } 1\le x\lt2\end{cases}$$
De ello se sigue que si $f(x)=x^2-2x$ desde entonces $$f((-1,0))=(0,3)\\f([0,1))=[-1,0]\\f([1,2))=[-1,0)$$ the solution is $$1\le x\lt 2$$
polfosol
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