Es $\mathrm{col}(\lambda I_n-A)\subseteq \mathrm{col}(B) $ para un complejo $\lambda$ ?

Question

Dejemos que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , dejemos que $I_n$ denota la matriz de identidad de orden $n$ y que $ \mathrm{col}$ denotan el espacio de la columna.

Estoy interesado en entender para qué valores de $\lambda \in \mathbb{C} $ existe una matriz de rango completo de columnas $B\in\mathbb{R}^{n\times m}$ con $m<n$ , de tal manera que $\mathrm{col}(\lambda I_n-A)\subseteq \mathrm{col}(B) $ .

Claramente $\lambda$ debe ser un valor propio de $A$ porque de lo contrario $\mathrm{col}(\lambda I_n-A)$ es $n$ -y, por lo tanto, no puede estar en el $m$ -subespacio dimensional $\mathrm{col}(B) $ .

Si $\lambda$ es un valor propio real de $A$ , sin duda podemos encontrar un $B$ tal que $\mathrm{col}(\lambda I_n-A)\subseteq \mathrm{col}(B) $ .

¿Y si $\lambda$ es un valor propio complejo (no real) de $A$ ?

Answer 1

No es posible encontrar esta matriz $B_{n\times m}$ , $m<n$ para cualquier matriz real $A_{n\times n}$ si $\lambda$ no es real.

Dejemos que $A_1,\ldots,A_n$ sean las columnas de $A$ . Dejemos que $\lambda=a+bi$ con $b\neq 0$ .

Dejemos que $C_1,\dots,C_n$ sean las columnas de $\lambda Id-A$ . Así, $C_j=(ae_j-A_j)+i(be_j)$ , donde $\{e_1,\ldots,e_n\}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^n$ .

Supongamos ahora que el espacio vectorial complejo abarcado por las columnas de $B_{n\times m}$ , $\{B_1,\ldots,B_m\}\subset \mathbb{R}^n$ contiene el espacio vectorial complejo abarcado por las columnas $C_1,\dots,C_n$ .

Así, $C_j=(a_1^j+ib_1^j)B_1+\ldots+(a_m^j+ib_m^j)B_m=(a_1^jB_1+\ldots+a_m^jB_m)+i(b_1^jB_1+\ldots+b_m^jB_m)$ , donde $a_s^k,b_s^k\in\mathbb{R}$ .

Así que $ae_j-A_j=a_1^jB_1+\ldots+a_m^jB_m$ y $be_j= b_1^jB_1+\ldots+b_m^jB_m.$

Por lo tanto, el espacio vectorial real abarcado por $\{B_1,\ldots,B_m\}$ debe contener el espacio vectorial real abarcado por $\{be_1,\ldots,be_n\}$ que es $\mathbb{R}^n$ ya que $b\neq 0$ .

Así, $m$ debe ser mayor o igual que n.