Paradoja de la definición de la función derivada parcial

Question

He reflexionado bastante sobre esta cuestión y no he podido encontrar una respuesta en ningún sitio. Voy a plantear esta pregunta desde el punto de vista de la termodinámica básica. Digamos que defino $p(\rho,T) = \rho R T$ donde $R$ es una constante.

$\dfrac{\partial T}{\partial \rho}=0$ ya que T y $\rho$ se definen de forma independiente

Más adelante digamos que reordenamos la definición de la función y definimos $T(\rho,p)=\dfrac{p}{\rho R}$

entonces

$\dfrac{\partial T(\rho,p)}{\partial \rho}=-\dfrac{p}{\rho^2 R}$ = $\dfrac{\partial T}{\partial \rho}$

$0\neq-\dfrac{p}{\rho^2 R}$

¿Cómo se supone que debo saber qué derivada utilizar cuando se utilizan ecuaciones en línea en las que se mezclan las definiciones como se ve arriba? Además, parece que $p(\rho,T)$ y $T(\rho,p)$ lleva a $T(\rho,p(\rho,T))$ una definición aparentemente recursiva. Si puede, por favor, explíquelo. Gracias.

Answer 1

Al diferenciar $p(\rho,T)$ con respecto a $\rho$ , usted varía $\rho$ mientras sostienes $T$ arreglado, lo que se puede hacer porque $T$ no es una función de $\rho,$ y como resultado, $p$ varía. Por otro lado, cuando se diferencia $T(\rho,p)$ con respecto a $\rho,$ ahora $p$ no se permite variar en absoluto, y en su lugar $T$ varía.

En otras palabras, la abrazadera $p$ a un valor fijo y meneo $\rho$ alrededor, y $T$ varía. Abrazadera $T$ a un valor fijo y meneo $\rho$ alrededor, y $T$ no varía. ¿Sorprendente? Difícilmente.

Un punto de vista es que la diferenciación parcial te dice lo que le pasa a una función definida de una manera definida de una manera particular con respecto a sus parámetros, al variar los valores de esos parámetros. La función $T(\rho,p) = \dfrac p{\rho R}$ --es decir, $T$ en función de parámetros independientes $\rho$ y $p$ -- es un animal completamente diferente del parámetro independiente $T$ de la función $p(\rho,T) = \rho RT.$ Si no fuera así, podrías escribir

$$p(\rho,T(\rho,p)) = \rho RT = \rho R\left(\dfrac p{\rho R}\right) = p,$$

en otras palabras, $p$ es lo que es sin importar el valor de $\rho$ que se introduce en el lado izquierdo de esa ecuación. Esto es una tontería. (Y demuestra que las preocupaciones expresadas sobre una "definición recursiva" en la pregunta original no son tontas en absoluto).

Si se trata de un dominio problemático en el que debe definen simultáneamente las derivadas parciales de diferentes maneras con respecto a las mismas variables, entonces es útil llevar la cuenta de cómo definiste esas derivadas. Por ejemplo, cuando tomaste la derivada parcial de $T(\rho,p)$ con respecto a $\rho,$ que encontró que $$\left(\dfrac{\partial T}{\partial \rho}\right)_p = -\dfrac{p}{\rho^2 R}.$$ El subíndice $p$ en el lado izquierdo de esta ecuación denota el hecho de que has encontrado esta derivada parcial manteniendo $p$ arreglado. Cuando se tomó por primera vez una derivada parcial de $T$ con respecto a $\rho$ --es decir, cuando los considerabas como independientes parámetros de $p(\rho,T)$ -- lo que realmente encontraste fue que $$\left(\dfrac{\partial T}{\partial \rho}\right)_T = 0.$$

Answer 2

Es una pregunta bastante interesante, piénsalo de la siguiente manera. Estás trabajando en dos escenarios diferentes. En el primero, $T,\rho$ son ambos independiente de cada uno. En el segundo, estás definiendo $T$ como algo que depende de $\rho$ Ahora es una función de $\rho$ . No es de extrañar que obtengas respuestas diferentes: ¡trabajas en escenarios diferentes!

Answer 3

En un sistema termodinámico de una fase y un componente hay dos variables de estado independientes.

Cualquier función de estado (por ejemplo, la entropía, la presión, la densidad, etc.) puede formularse como una función de dos variables cualesquiera (a elegir). En tu ejemplo, empiezas con la densidad y la temperatura como variables independientes, pero podrían haber sido la presión y la entropía.

Cuando se toman derivadas parciales es mejor utilizar la notación de subíndice para indicar qué otra variable se mantiene fija. Sólo se puede permitir que una se mantenga fija mientras otra cambia.

Por ejemplo, el diferencial de temperatura utilizando la densidad y la presión como variables de estado independientes es

$$dT= \left(\frac{\partial T}{\partial \rho}\right)_p d \rho+ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{\rho} d p$$

De donde,

$$1=\left(\frac{\partial T}{\partial T}\right)_{\rho}= \left(\frac{\partial T}{\partial \rho}\right)_p \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{\rho} + \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{\rho} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{\rho}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{\rho} \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{\rho}\\ \implies\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{\rho} = 1/\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{\rho} $$