Número de elementos de a $n \in \{1, ..., 100 \}$ tal que $n^{4} - 20n^{2} + 100$ es de la forma $k^{4}$ $k$ un entero.

Question

Encontrar el número de elementos de a $n \in \{1, ..., 100 \}$ tal que $n^{4} - 20n^{2} + 100$ es no de la forma $k^{4}$ $k$ un entero.

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Observe que $$n^{4} - 20n^{2} + 100 = (n^{2} - 10)^{2}$$

Podemos encontrar el número de elementos que $(n^{2}-10)^{2} = k^{4}$.

$$(n^{2}-10)^{2} = k^{4} = (k^{2})^{2} \implies n^{2} - k^{2} = 10$$ $$(n-k)(n+k) = 10$$ así que las posibilidades son

$$n-k = 1, n+k = 10 \implies n, k \notin \mathbb{Z}$$ $$n-k = 2, n+k = 5 \implies n, k \notin \mathbb{Z}$$

si cambiamos los casos, lo mismo también se aplica. Así que no hay $n$ tal que $n^{4} - 20n^{2} + 100 = k^{4}$

Por lo tanto la respuesta es $100$, todos los elementos en $\{1, ..., 100 \}$.

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Es esto suficiente? Hay otra manera de resolver este uso de las técnicas que se utilizan en los concursos. Gracias.

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Editar : Tomando nota también de Prathyush la respuesta. con $(n^{2}-10)^{2} = k^{4}$ también tenemos que comprobar $10 - n^{2} = k^{2}$ lo que significa que $$10 = n^{2} + k^{2}$$ la única solución es$n=1,k=3$$n=3, k=1$. Así que la respuesta es $98$ elementos.

Answer 1

$$n^{4} - 20n^{2} + 100= (n^2-10)^2$$ Por lo tanto la condición reduce a encontrar todos los $n$ tal que $|n^2-10|$ es de la forma $k^2$. $n=1,3$ satisfacer este. Deje $n>3$, de modo que $|n^2-10|=n^2-10$. Supongamos que existe un $k$ la satisfacción de este, a continuación, $$n^2-10=k^2$$ $$(n-k)(n+k)=10$$ Ahora el mayor poder de $2$$10$$2^1$. Por lo tanto, si uno de los factores ( $n-k$ ), los otros ($n+k$) es impar. Pero, a continuación, $n=\frac{(n+k)+(n-k)}{2}$ no va a ser un número entero, lo cual es una contradicción. Por lo tanto no existe ningún valor de a $n>3$ que satisface la ecuación.

Conclusión: todos los valores de $n$ con la excepción de $n=1,3$ son tales que $n^{4} - 20n^{2} + 100$ no es de la forma $k^4$

Answer 2

$$n^{4} - 20n^{2} + 100=$$

$$(n^2-10)^2=k^4$$

$$n^2 -k^2= \pm 10$$

$$(n-k)(n+k)=\pm 10$$

$$(n-k)(n+k)= (\pm 2)\times (\pm 5)$$

o $$(n-k)(n+k)=(\pm1)\times( \pm 10)$$ Que tiene dos solución integral de $\{1,3\}$

Por lo tanto todos los números enteros $$n \in \{1, …, 100 \}$$ except $\{1,3\}$ en el conjunto deseado.