Los puntos de curva con obstruido deformaciones

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo, por ejemplo,$k=\mathbb C$. Deje $Art_k$ ser la categoría de local de Artin $k$-álgebras con residuo de campo $k$. Deformación de una functor es un functor $D:Art_k\to Sets$ tal que $D(k)$ tiene un elemento.

Deje $D:Art_k\to Sets$ ser un prorepresentable deformación functor, es decir, $D\cong h_R=\hom_k(R,-)$ locales $k$-álgebra $(R,m)$ con residuos de campo $k$ y finito-dimensional en el espacio de la tangente $T=(m/m^2)^\vee$. Esto es equivalente a la existencia de una obstrucción de la teoría de la $(T_1,T_2)$ $D$ tal que para cada pequeña extensión de las $\xi:0\to I\to B\to A\to 0$ hay una secuencia exacta de los conjuntos de $$0\to T_1\otimes I\to DB\to DA\overset{ob_\xi}{\to}T_2\otimes I.$$ Ahora, $T_1$ es naturalmente isomorfo a $T$, que es finito-dimensional, decir $\dim T=d$. Si $\dim T_2=e$, entonces se sabe que $$d\geq \dim R\geq d-e.$$

La desaparición $T_2=0$ aseguraría un isomorfismo $R\cong k[[t_1,\dots, t_d]]$.

Pregunta. En qué situaciones diferentes de $T_2=0$, no nos metemos $R\cong k[[t_1,\dots, t_d]]$? Por ejemplo, ¿qué pasa si $ob_\xi=0$ para todas las pequeñas extensiones de $\xi$?

Básicamente estoy interesado en la comprensión cuando un punto de $p$ en un espacio de moduli $X$ es suave. Así por ejemplo, si $X$ es un buen espacio de moduli, a continuación, la deformación functor asociados a $p$, es decir, el functor $$D_{X,p}:A\mapsto \{g:\textrm{Spec }A\to X\textrm{ such that }g|_{\textrm{Spec k}}=p\},$$ is isomorphic to $h_R$ where $R=\hat{\mathscr O}_{p}$. So we are in the above situation: we find some obstruction theory $(T,T_2)$ and if $T_2=0$ then $p$ is smooth. Actually if $R=k[[t_1,\dots, t_d]]/J$ then we can take $T_2=(J/\mathfrak nJ)^\vee$, where $\mathfrak n$ is the maximal ideal of $k[[t_1,\dots, t_d]]$. What else than $J=\mathfrak nJ$ can make $p$ a smooth point of $X$?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

No estoy completamente seguro de haber entendido tu pregunta. Si $p$ es un punto de curva en un sistema finito de tipo más de $k$ (por ejemplo, el espacio de moduli), luego por Cohen estructura del teorema se obtiene que la finalización de los locales en el anillo de la $p$ es isomorfo a $P:=k[[t_{1},...,t_{d}]]$. Por lo $J$ es trivial en este caso.

De hecho, usted puede utilizar formal de la deformación de la teoría a probar esta parte de la estructura del teorema. Si $R$ es suave sobre la $k$, por lo infinitesimal de elevación de la propiedad de suavizar morfismos de obtener una obstrucción de la teoría de la toma valores en el espacio vectorial trivial.

También, para responder a su pregunta, si la obstrucción se desvanece cualquier pequeña extensión, desaparecerán para cualquier engrosamiento porque cualquier surjective de morfismos de Artin-k-álgebras puede ser tenidos en cuenta en sucesivas pequeñas extensiones. Así que, de nuevo, usted puede tomar $T_{2}=0$.

Tenga en cuenta también que, en general, tiene un canónica de la obstrucción de la teoría de $hom(R,-)$, $R=k[[t_{1},...,t_{d}]]/I$ tomando valores en $V=Hom(I/I^{2},k)/Hom(\hat{\Omega},k)$. Aquí $\hat{\Omega}$ es el $k[[t_{1},...,t_{d}]]$-módulo generado por $dt_{i}$. $V$ tiene dimensión $s$ donde $s$ es el mínimo número de generadores de $I/I^{2}$. Esta obstrucción de la teoría induce cualquier otra obstrucción de la teoría de $hom(R,-)$.

En última instancia, usted ve que en tu caso, tienes: El espacio de moduli $X$ es suave en $p$$\iff$ La finalización de los locales en el anillo de la $p$ es $k[[t_{1},...,t_{d}]]$$\iff$ canónica de La obstrucción de la teoría de la prorepresentable deformación local functor en $p$ toma valores en el espacio vectorial trivial.