Signo de la integral de una forma 2

Question

Dada una 1-forma $\omega$ definir en $\mathbb{R}^2$ tal que $$ d\omega = f \; dx\wedge dy $$ es una 2-forma con $f>0$ y considerar la posibilidad de $D\subset \mathbb{R}^2$

¿Cómo puedo saber la orientación de $ D$ (o $\partial D$) tales que $$ \int_D d\omega >0 $$

Hay un geométrica de razón de la orientación (o como la regla de la mano derecha), o no hay ninguna convención ?

Answer 1

Escrito $[a, b]$ para denotar la orientada al intervalo con extremos de $a$ $b$ (así, por ejemplo, $[1, 0]$ denota la unidad de intervalo orientado de $1$$0$), la orientada al límite de la unidad cuadrada es la suma de las orientadas $1$-cadenas $$ [0, 1] \times \{0\},\qquad \{1\} \times [0, 1],\qquad [1, 0] \times \{1\},\qquad \{0\} \times [1, 0]. $$ Esta noción de la orientación es puramente algebraica, determinado por un orden fijo de coordenadas, y compatible con el Verde del teorema (es decir, la generalizada del teorema de Stokes en el plano).

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Habitualmente, las coordenadas Cartesianas son atraídos por lo que el positivo $x$-eje puntos a la derecha y el positivo $y$-eje apunta hacia arriba. Con este convenio adicional, la orientación de los límites de la unidad de la plaza es hacia la izquierda.

La orientación y la mano derecha de la regla son cuestiones independientes: Que coinciden tanto tiempo como sistema de coordenadas Cartesianas (en concreto, la norma base en la naturaleza de pedido) es "la mano derecha" (es decir, dibujado a un particular geométricas convención).