Mayer-Vietoris donde $A\cap B$ límites $A$ y $B$

Question

Estoy un poco confundido sobre cómo funciona la Secuencia Mayer-Vietoris. Pensaba que una de las veces que es útil es cuando elegimos $A$ y $B$ tal que $A\cap B$ es homotópica a los límites de $A$ y $B$ y, por tanto, el mapa $H_n(A\cap B)\to H_n(A)\oplus H_n(B)$ es el mapa cero ya que es inducido por las inclusiones en cada coordenada. Creo que así es como MVS es tan poderoso con el cálculo de homologías de sumas de conexión. Sea $A$ ser un barrio alrededor de $X$ , $B$ un nbd alrededor $Y$ entonces $A\cap B$ es un círculo que es homotópico a los límites de $A$ y $B$ y así el mapa $H_1(A\cap B)\to H_1(A)\oplus H_1(B)$ es el mapa 0.

La primera cuestión que tengo, que quizás haya resuelto pero por favor corregidme si me equivoco, es que no es el mapa cero en todas las dimensiones, sólo en la que está $\dim A-1$ de ahí la dimensión de la frontera.

La segunda cuestión la voy a plantear a través de un ejemplo. Consideremos la homología de un complemento de nudo. Como no importa el nudo, elijamos simplemente el desanudado. Sea $A$ sea un toro sólido que contenga el nudo, sea $B$ sea el complemento del nudo, por lo que $A\cap B$ es un toroide. La secuencia MVS es entonces $$\dots\to 0\to H_3(S^3)\to H_2(S^1\times S^1)\to H_2(A)\oplus H_2(B)\to H_2(S^3)\to \dots$$ $$\dots\to 0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to 0\oplus H_2(B)\to 0\to \dots$$

PENSÉ que la forma de calcular la homología aquí es utilizar el hecho de que el toro limita tanto $A$ y $B$ y así el mapa $H_2(S^1\times S^1)\to H_2(A)\oplus H_2(B)$ era el mapa cero, y por lo tanto $H_2(B)=0$ .

El problema que tengo con esto es que consideremos $\mathbb{R}^3-K$ donde $K$ es de nuevo el nudo y utilizar la misma idea para elegir $A$ y $B$ . $$\dots\to 0\to H_3(\mathbb{R}^3)\to H_2(S^1\times S^1)\to H_2(A)\oplus H_2(B)\to H_2(\mathbb{R}^3)\to \dots$$ $$\dots\to 0\to 0\to \mathbb{Z}\to 0\oplus H_2(B)\to 0\to \dots$$ y así el mapa $H_2(S^1\times S^1)\to H_2(A)\oplus H_2(B)$ no puede ser el mapa cero, sin embargo la intersección aún parece delimitar $A$ y $B$ .

Algo está mal en mi proceso de pensamiento aquí. ¿Puede alguien aclarar cuándo el mapa inducido por la inclusión es 0 y cuándo no?

Answer 1

Parece que tienes un concepto erróneo sobre cuándo el mapa inducido por las inclusiones de las intersecciones es el mapa cero, principalmente en lo que respecta a lo que constituye un límite. Recordemos cómo se define este mapa. Supongamos que $i_A\colon A\cap B\to A$ es la inclusión de la intersección en $A$ y $i_B\colon A\cap B\to B$ es la inclusión de la intersección en $B$ . El mapa que aparece en la secuencia Mayer-Vietoris se define como $$((i_A)_*,(i_B)_*)\colon H_n(A\cap B)\to H_n(A)\oplus H_n(B)$$ donde $(i_A)_*$ es el mapa inducido sobre la homología del mapa de inclusión. ¿Cuándo es este mapa el mapa cero? Pues bien, si es distinto de cero en cualquiera de los dos factores, no será el mapa cero en la suma, por lo que cada factor del mapa debe ser cero. De ahí que necesitemos ambos $(i_A)_*$ y $(i_B)_*$ sea cero. Esto ocurre precisamente cuando cada $n$ -que aparece en $A\cap B$ se asigna a un $n$ -límite en $A$ y también en $B$ .

Podemos reducir el trabajo necesario observando que sólo necesitamos comprobar los ciclos que representan los elementos generadores del $n$ grupo de homología de $A\cap B$ . En su caso, mirando $H_2(A\cap B)$ podemos considerar un único $2$ -ciclo que representa un generador $2$ -clase de homología del toro - tal ciclo $\alpha$ viene dada por (alguna suma de $n$ -células que cubre) el propio toro. Ahora bien, se sabe que la inclusión del toro en $A$ es trivial con respecto al segundo grupo de homología porque $H_2(A)$ es trivial.

Así que ahora tenemos que comprobar con la inclusión en $B$ . Cuando $B=S^3\setminus K$ tenía razón al decir que el $A\cap B$ "límites $B$ pero creo que realmente hay que tener más cuidado aquí. Existe un $3$ -cadena $\beta$ en $B$ que tiene la propiedad de que $\partial\beta=\alpha$ y esto $3$ -cadena $\beta$ se da tomando exactamente una copia de cada $3$ -en la estructura del complejo celular que colocamos en $B$ . Tenga en cuenta que $\beta$ es un finito suma de $3$ -células y esto realmente viene del hecho de que $S^3$ es compacto.

Si en cambio $B=\mathbb{R}^3\setminus K$ entonces nos encontramos con un problema. No hay $3$ -cadena que cubre toda la $B$ porque un $3$ -cadena tiene que ser una suma finita de celdas, pero $\mathbb{R}^3\setminus K$ requiere un número infinito de celdas compactas para cubrirlo. Se podría pensar que podemos evitar esto "encogiendo $B$ hacia abajo para que $K$ está contenido en algún disco cerrado $D$ - después de todo $B'=D\setminus K$ es una retracción por deformación de $B$ por lo que tendrán los mismos grupos de homología. En este caso es cierto que podemos encontrar un $3$ -cadena que cubre toda la $B'$ pero ahora vemos que en realidad $\alpha$ es no el límite de esa $3$ -cadena porque la esfera límite del disco $D$ aparecería como un sumando de dicha cadena.

De hecho, podemos ver en el trabajo que ya has hecho que $H_2(B)$ será isomorfo a $\mathbb{Z}$ y de hecho un generador de $H_2(B)$ está representada por la imagen del generador en $H_2(A\cap B)$ . Creo que la moraleja de esta historia es que el "límite" en el sentido geométrico no es necesariamente el mismo que el sentido homológico, que es realmente una construcción formal que sólo se basa en cierta medida en nuestra intuición de lo que debe representar un límite. (Sin embargo, si todo lo que tenemos entre manos es una variedad compacta, como en el caso de $S^3\setminus K$ entonces estas dos anotaciones de límite sí coinciden).