La probabilidad de que x cumpleaños se encuentran dentro de n días de cada uno de los otros

Question

Esta es una pregunta que se me fastidiaron bastante tiempo: ¿cuál es la probabilidad de que x que la gente pueda tener su cumpleaños dentro de n días de cada uno de los otros?

Un poco más específico, ya que esto es como un colega de un enunciado: ¿cuál es la probabilidad de que 5 personas celebran su cumpleaños en un plazo de 40 días?

Tanto los cumpleaños y la "distancia" que se supone son al azar: no hay ningún período de tiempo fijado (por ejemplo, el 1 de abril al 10 de Mayo) que los cumpleaños se encuentran dentro. El cumpleaños debe ser tal, que dos cumpleaños son siempre dentro de los 40 días de cada uno de los otros.

La cosa que me molesta, es que parece ser algún tipo de cálculo recursivo, y que no puedo encontrar una manera de poner en una sencilla formulación matemática.

Para explicar que, considere la posibilidad de 2 personas: la primera persona es libre de tener su cumpleaños $b_1$ cualquier día del año, y la segunda persona tiene 81 días para elegir una fecha de cumpleaños $b_2$ a partir del (los 40 días de lapso de tiempo es incluyente, por lo que hasta 40 días antes de la $b_1$, y hasta días después de la $b_1$, además de una en $b_1$ sí. Esto puede ser más lógica formulada de 41 días para algunos; no sé lo que es mejor, así que por favor sea claro en su respuesta).

Ahora, para la tercera persona, el número de cumpleaños que él o ella puede tener, está limitada por la segunda persona del cumpleaños: si $b_2 = b_1$, $b_3$ entre 81 días, pero si $b_2 = b_1 + 1$ o $b_2 = b_1 - 1$, sólo hay 80 días, para cada opción, y 79 $\|b_1 - b_2\| = 2$, etc.

Para la cuarta persona, la limitación está dada por persona 2 y 3, lo que complica las cosas; la quinta persona que hace las cosas aún más complicadas.

También he intentado ir a la "exclusión" (¿cuál es la probabilidad de que 5 de las personas no comparten su cumpleaños dentro de los 40 días de cada uno de los otros), pero yo no llegué a ningún lado de esa manera.

Pero tal vez me estoy volviendo completamente el camino equivocado acerca de esto.

Por ahora, he calculado que en varios, y estoy muy seguro de la respuesta, pero todavía estoy buscando la formulación matemática de la general (x cumpleaños, n días) problema.

La respuesta que yo tengo, por cierto, es $7.581428 \cdot 10^{-4}$ o $\frac{13456201}{365^4}$.

PD: obviamente, esto no asume los años bisiestos.
NB2: Extensión del Problema del Cumpleaños aparece relacionado, aunque no puedo ver fácilmente si puedo usar alguna de que la formulación de aquí.

Answer 1

Considere el más pequeño intervalo que contiene todos los $x$ cumpleaños, y supongamos que su longitud es de $m$ ( $2 \le m \le n$ : se tendrá en cuenta por separado para el $m=1$ de los casos). Supongamos que $y$ de los cumpleaños (con $2\le y\le x$) están en los extremos del intervalo, y el resto de $x-y$ cumpleaños son en el interior. Luego hay ${{x}\choose{y}}$ formas de elegir que $y$ personas que celebran su cumpleaños en los extremos, para cada uno de los cuales hay $2^y-2$ formas para elegir la que los extremos de celebrar los cumpleaños (omitiendo las dos formas para que todos los $y$ están en un solo extremo). La probabilidad de que estos $y$ cumpleaños son como se especifica es $\left(\frac{1}{365}\right)^y$, y la probabilidad de que el resto de los $x-y$ cumpleaños están dentro de este intervalo es $\left(\frac{m-2}{365}\right)^{x-y}$. Hay $365$ posibles puntos de partida para el intervalo. Recapitulación sobre los posibles valores de $m$$y$, y la adición de la $m=1$ plazo (para el cual la probabilidad es $365^{-(x-1)}$), se obtiene el resultado final: $$P(n,x)=\frac{1}{365^{x-1}}+365\sum_{m=2}^{n}\sum_{y=2}^{x}\left(\frac{m-2}{365}\right)^{x-y} \left(\frac{1}{365}\right)^y{{x}\, seleccione{y}}\left(2^y-2\right) \\ =\frac{1}{365^{x-1}} + 365\sum_{m=2}^{n}\left[\sum_{y=2}^{x}\left(\frac{m-2}{365}\right)^{x-y} \left(\frac{2}{365}\right)^y{{x}\, seleccione{y}} - 2 \sum_{y=2}^{x}\left(\frac{m-2}{365}\right)^{x-y} \left(\frac{1}{365}\right)^y{{x}\, seleccione{y}}\right].$$ Las sumas más de $y$ puede ser simplificado, ya que $$\sum_{y=2}^{x}a^{x-y}b^{y}{{x}\choose{y}}=\sum_{y=0}^{x}a^{x-y}b^{y}{{x}\choose{y}}-a^{x-1}bx-a^x=(a+b)^x-a^{x-1}bx-a^x.$$ Nos encontramos $$P(n,x)=\frac{1}{365^{x-1}}\left(1+\sum_{m=2}^{n}\left[m^{x}-2\left(m-1\right)^{x}+\left(m-2\right)^{x}\right]\right)$$ después de algunos álgebra. La suma restante de los telescopios, dando lugar a la final, muy elegante, resultado: $$P(n,x)=\frac{n^x - (n-1)^x}{365^{x-1}}.$$ (Esto está de acuerdo con el OP de la respuesta después de la configuración de $n=41$$x=5$. La pregunta es un poco ambigua: el título dice "dentro de $n$ días de cada uno de los otros", pero la primera frase dice: "dentro de un intervalo de tiempo de $n$ días", que me interpretarse en el sentido de "dentro de un bloque de $n$ días consecutivos".)

Answer 2

Deje $B_1,\dots,B_x$ ser el cumpleaños de personas $1,\dots,x$ y en cuenta para todos los $m \in [0,364]$ el evento "todos los cumpleaños ocurrir entre los días $m$$m+n$, e $m$ es uno de los cumpleaños", que es $$E_m = \{\forall i,\; B_i\en [m, m + n]\}\cap \{\existe i,\; B_i = m\}.$$ (interpretar $m$ como algún tipo de "mínima" de cumpleaños)

Si $n < 365/2$, los eventos $E_m$ son mutuamente excluyentes: en la mayoría de los que uno de ellos puede suceder. Por otro lado, la probabilidad de que todos los $x$ cumpleaños están contenidas en un bloque de $n+1$ días consecutivos es la probabilidad de que al menos uno de estos eventos $E_m$ sucede. Esta probabilidad es, por tanto, $$\sum_{m=0}^{364} \Pr(E_m) = \sum_{m=0}^{364} \left[\left(\frac{n+1}{365}\right)^x- \left(\frac{n}{365}\right)^x\right] = \frac{(n+1)^x - n^x}{365^{x-1}}.$$

De hecho, $\Pr(E_m)$ se obtiene por una simple inclusión-exclusión a contar: es la probabilidad de que los cumpleaños están contenidas en el bloque de $[m,m+n]$ del tamaño de la $n+1$, pero no todos de ellos en el subblock $[m+1,m+n]$ del tamaño de la $n$.

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¿Qué se puede decir al $n \geq \frac{365}{2}$? Los eventos de $E_m$ no son mutuamente excluyentes, así que debemos usar la Inclusión–exclusión de la fórmula: $$\sum_m \Pr(E_m) - \sum_{m_1 < m_2} \Pr(E_{m_1}\cap E_{m_2})+ \dots + (-1)^n \sum_{m_1 < \dots < m_n} \Pr(E_{m_1}\cap \dots\cap E_{m_n}).$$

Answer 3

Aquí es otro de primaria enfoque basado en la combinatoria de enumeración.

Restricción: Esta es sólo una respuesta parcial válido para $1\leq n\leq 183$. Una respuesta completa está prevista para seguir.

Asumimos que el año habiendo $365$ días. Suponemos una situación con $x \geq 2$ de la gente y pedir para un cumpleaños de ellos dentro de un intervalo de longitud de $1\leq n\leq 183$ días.

Un motor de arranque: $n=2,x=3$

Para motivar el enfoque me gustaría dar un pequeño ejemplo, a saber, preguntar por la probabilidad de $P(n=2,x=3)$ de tres personas que tengan su cumpleaños dentro de dos días consecutivos.

Primero debemos determinar el número de $T$ de todas las posibles configuraciones. $$\begin{align*} T=365^x=365^3\tag{1} \end{align*}$$

Nota: por Favor tenga en cuenta que si estamos de acuerdo en que $(1)$ es correcta, podemos observar que, por ejemplo, la tripel $(1,365,1)$ significa que, en la primera persona del cumpleaños de la tercera persona es el cumpleaños de el primer día del año. La segunda personas de cumpleaños es el último día del año y de las configuraciones $(1,365,1)$ $(1,1,365)$ son diferentes.

Ahora, se deriva el número de $X$ de configuraciones apropiadas por la simple enumeración de ellos.

Hay $X_1=365$ configuraciones apropiadas de tres personas con cumpleaños en exactamente undía $$\begin{array}{lllr} (1,1,1)&\quad\dots\quad&(364,364,364),&(365,365,365)\tag{2}\\ \end{array}$$ y hay $X_2=6\cdot365$ configuraciones apropiadas de tres personas que tengan su cumpleaños en exactamente dos días consecutivos $$\begin{array}{lllr} (1,1,2)&\quad\dots\quad&(364,364,365),&(365,365,1)\tag{3}\\ (1,2,1)&\quad\dots\quad&(364,365,364),&(365,1,365)\\ (2,1,1)&\quad\dots\quad&(365,364,364),&(1,365,365)\\ (1,2,2)&\quad\dots\quad&(364,365,365),&(365,1,1)\\ (2,1,2)&\quad\dots\quad&(365,364,365),&(1,365,1)\\ (2,2,1)&\quad\dots\quad&(365,365,364),&(1,1,365)\\ \end{array}$$

Esto da un total de $X=X_1+X_2=7\cdot365$ configuraciones apropiadas.

Llegamos a la conclusión de:

$$\begin{align*} P(2,3)=\frac{X}{T}=\frac{7}{365^2}\simeq5.3\cdot10^{-5} \end{align*}$$

Ahora podemos generalizar este enfoque.

Generalización: $P(n,x)$ $x\geq 2$ $1\leq n\leq 183$

Primer paso: $n=1$

Partimos de la manera más fácil con $n=1$. Si hay $x$ personas y pedimos para tener sus birthay dentro de exactamente un día, hay $365$ configuraciones apropiadas correspondientes a $(1)$, es decir, el $x$-tuplas $$\begin{array}{lllr} \underbrace{(1,1,\dots,1)}_{x}&\quad\dots\quad&\underbrace{(364,364,\dots,364)}_{x},&\underbrace{(365,365,\dots,365)}_{x}\\ \end{array}$$

Así que nos ponemos para

$n=1$:

$$\begin{align*} X_1=365 \end{align*}$$

Segundo paso: $2\leq n\leq 183$

Supongamos un intervalo de longitud de $k$ $2\leq k \leq n$ y vamos a pedir por el número de configuraciones apropiadas de personas que tengan su cumpleaños dentro de un intervalo de longitud exactamente $k$.

Así, tenemos que determinar el número de $Y_k$ $x$- tuplas que tienen valores únicamente en el intervalo y que también contienen al menos un extremo izquierdo y al menos un extremo derecho del intervalo. Este número es $$\begin{align*} Y_k=k^x-2(k-1)^x+(k-2)^x\qquad(x \geq 2) \end{align*}$$

Observar que $k^x$ da el número de todos los $x$-tuplas ($k$diferente) los valores del intervalo. Restamos $2(k-1)^x$ que es el número de $x$-tuplas tener ningún extremo izquierdo o tener ningún extremo derecho del intervalo. Desde que nos resta el número de $x$-tuplas, que no tienen ni de izquierda ni de derecha extremo dos veces, tenemos que agregar $(k-2)^x$ para la compensación de acuerdo a la Inclusión-Exclusión Principio.

Hay $365$ a diferentes intervalos de longitud de $k$, a saber:

$$\begin{align*} &[1,2,\dots,k]\\ &[2,3,\dots,k+1]\\ &\quad\dots\\ &[364,365]\cup[1,2,\dots,k-3,k-2]\\ &[365]\cup[1,2,\dots,k-2,k-1]\\ \end{align*}$$

Y ya que podemos variar $k$$2$$n$, se observa que el $X_2$, el número de configuraciones apropiadas de $x\geq 2$ de las personas que tengan su cumpleaños dentro de $n$ días después de algunas simplificaciones para

$2 \leq n\leq 183$: $$\begin{align*} X_2&=365\sum_{k=2}^{n}Y_k\\ &=365\sum_{k=2}^{n}\left(k^x-2(k-1)^x+(k-2)^x\right)\\ &=365\left(n^x-(n-1)^{x}-1\right) \end{align*}$$

Esto da un total de $X=X_1+X_2=365\left(n^x-(n-1)^x\right)$

Llegamos a la conclusión de:

$$\begin{align*} P(n,x)=\frac{X}{T}=\frac{n^x-(n-1)^x}{365^{x-1}}\qquad(1\leq n \leq 183), \quad (x\geq2) \end{align*}$$

de acuerdo con la respuesta de mjqxxxx si que, además, el respeto a $n\leq 183$.

Nota: Observar, que si nos preguntamos por la probabilidad de que dos personas tengan su cumpleaños dentro de $183$ días, el resultado debe dar $1$. De hecho, tenemos $$\begin{align*} P(n,x)=P(183,2)=\frac{183^2-182^2}{365}=\frac{365}{365}=1 \end{align*}$$

Nota: Observar que, debido a algunas circular los pisos de los intervalos en el caso de $184 \leq n \leq 365$ algunas configuraciones apropiadas son repetidas ocasiones contadas, por lo que para algunos valores de $x$ $$\begin{align*} P(n,x) \geq 1\qquad (184 \leq n \leq 365) \end{align*}$$

Para corregir la fórmula de $P(n,x)$ en este caso debe ser la siguiente actividad :-)

Answer 4

El uso de las ideas similares a mjqxxxx, y después de su notación tengo $$P(n,x)=(N-n+1)\left({n\over N}\right)^x-(N-n)\left({n-1\over N}\right)^x,\quad 1\leq n\leq N.$$ Aquí $N$ es la longitud del calendario; el OP tarda $N=365$. Con $n=40$$x=5$, esto le da a $${162381413\over 259133949125}\approx .0006266.$$

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Esta solución es para un lineal calendario donde el Dec. El 31 de enero. 1 no se consideran consecutivos. Todavía estoy trabajando en el calendario circular.

Answer 5

Considero que una bestia método, en primer lugar, mediante la consideración de los números reales en lugar de los números enteros.

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Consideremos dos personas y nos deja parcela de las permutaciones en un cuadrado (ver ilustración). Estas plazas son periódicas porque el año es cíclico. Estamos interesados en el marrón de la zona y que está dada por

$$P(z) = 1 - \Big( 1 - z \Big)^2 + z^2,\ z \le \frac{1}{2}.$$

Y claramente tenemos $P(0)=0$$P(\tfrac{1}{2}) = 1$, como se esperaba. Tenga en cuenta que esta es una bruta método, porque no tenemos en cuenta los números enteros.

Podemos encontrar el marrón área más general por

$$\int_0^1 dx \int_{x-z}^{x+z} dy = \int_0^1 dx \Big[y\Big]_{x-z}^{x+z} = \int_0^1 dx 2z = 2z,$$

y

$$2z = 1 - \Big( 1 - z \Big)^2 + z^2.$$

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Extender esta idea a $p$ de las personas, por lo que obtener un $p$-cubo. Obtenemos

$$P(z) = \int_0^1 dx_1 \int_{x_1-z}^{x_1+z} dx_2 \int_{x_1-z}^{x_1+z} dx_3 \cdots \int_{x_1-z}^{x_1+z} dx_p = \Big(2z\Big)^{p-1}$$

Como $2z$ es el período de $n$ dividido por el número de años, hemos $\displaystyle 2z=\frac{n}{N}$, de donde

$$P = \Big(\frac{n}{N}\Big)^{p-1}.$$

Por eso es que vine con

$$\Big( \frac{40}{365} \Big)^k$$

en el primer lugar.

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Cuando consideramos los números enteros, necesitamos reemplazar la integral por una sumatorias.

El número total de permutaciones para un cumpleaños en el año para $p$ de las personas está dada por

$$P_\textrm{total} = \sum_{k_1=1}^N \sum_{k_2=1}^N \sum_{k_3=2}^N \cdots \sum_{k_p=1}^N = N^p.$$

El número de permutaciones para un cumpleaños que se encuentran en un período de $n$ días para $p$ de las personas está dada por

$$P_\textrm{período} = \sum_{k_1=1}^N \sum_{k_2=k_1-n/2}^{k_1+n/2} \sum_{k_3=k_1-n/2}^{k_1+n/2} \cdots \sum_{k_2=k_1-n/2}^{k_1+n/2} = N \Big( n + 1 \Big)^{p-1}.$$

El cambio está dado por

$$\frac{P_\textrm{período}}{P_\textrm{total}} = \left( \frac{n+1}{N} \right)^{p-1},\ n < N.$$

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Pequeñas pruebas:

Considere la posibilidad de $N=4$, $n=2$ y $p=2$. Tenemos

$$\left( \frac{2+1}{4} \right)^{2-1} = \frac{3}{4}.$$

Tenemos las permutaciones

$$\begin{array}{c|cccc} &1&2&3&4\\ \hline 1&\times&\times&&\times\\ 2&\times&\times&\times&\\ 3&&\times&\times&\times\\ 4&\times&&\times&\times\\ \end{array}$$

donde el $\times$ denota las permutaciones que cumplan el período de la condición. Tenemos totalmente $16$ permutación y $12$ permutaciones que satisfacen la condición, por lo tanto

$$P = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}.$$

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El caso $n=40$, $N=365$ y $p=5$ da

$$\left( \frac{40+1}{365} \right)^{5-1} = \left( \frac{41}{365} \right)^{4} \rightarrow 0.02\%$$