Dejemos que $F$ un campo y consideramos el anillo de series de potencias $F[[x]]$ . Después de demostrar que $F[[x]]$ es un P.I.D. y después de demostrar que los ideales de $F[[x]]$ son de la forma $(x^k)$ para $k\ge0$ Por qué $F[x]\supset (x)\supset(x^2)$ ? Por qué $F[[x]]\ne (x)$ y $(x)\ne (x^2)$ .
Gracias.
$(x)$ es el ideal formado por las series sin término constante. Ciertamente existen series con término constante no nulo, por lo que la inclusión es adecuada. De forma similar, $(x^2)$ es el ideal de serie sin término constante o lineal. Como existen series con términos constantes, o sin término constante pero con término lineal, la inclusión es propia.
Gracias por su respuesta. Entonces, si fuera $F[[x]]=(x)$ estaríamos afirmando que en $F[[x]]$ toda serie de potencia formal tiene un término costante nulo, pero esto es absurdo, porque basta con tomar $1=1+0x+0x^2+\cdots$ . Además, si fuera $(x)=(x^2)$ afirmamos que en $(x)$ toda serie formal tiene término lineal nulo, pero esto es absurdo, de hecho basta con tomar $x=0+1x+0x^2\cdots$ . ¿Es correcto?
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En general, para cualquier dominio integral, y cualquier no unidad no nula $x$ , $(x^{n+1})\subsetneq (x^n)$ . Porque si no, $x^n=x^{n+1}r$ implicaría $xr=1$ después de la cancelación, contradiciendo que $x$ no es una unidad. Pero creo que la descripción cruda de Matt de lo que cada uno de los ideales $(x^n)$ es como lo hace patentemente claro ya para este caso.