¿Cómo puedo demostrar que $$\sum_{p\leq x}\log\left(1+\frac{1}{p}\right)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+A+\mathcal O\left(\frac{1}{\log(x)}\right).$$
Lo que se sabe es que $$\sum_{p\leq x}\left(\log\left(1+\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p}\right)=A+\mathcal o\left(1\right).$$
¿Puedo concluir directamente que el $o(1)$ también es un $\mathcal O\left(\frac{1}{\log(x)}\right) $ ? Si no, ¿cómo puedo concluir?
$$\begin{eqnarray*}\sum_{p\leq x}\log\left(1+\frac{1}{p}\right) &=& \sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+\sum_{p}\left[\log\left(1+\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p}\right]-\sum_{p>x}\left[\log\left(1+\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p}\right]\\&=&\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+A+O\left(\sum_{p>x}\frac{1}{p^2}\right) \\&=&\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+A+O\left(\sum_{n>x}\frac{1}{n^2}\right) =\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+A+O\left(\frac{1}{x}\right).\end{eqnarray*} $$
El plazo restante se puede mejorar en $O\left(\frac{1}{x\log x}\right)$ explotando la PNT pero $O\left(\frac{1}{x}\right)$ ya es mucho más pequeño que el que se reclama $O\left(\frac{1}{\log x}\right)$ .
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A menos que cometa un error tonto: $\log(1+1/p)-1/p=O(1/p^2)$ y así $\sum_{p\leq x}(\log(1+1/p)-1/p)=A+O(\sum_{n>x}1/n^2)=A+O(1/x)$ (comparando la última suma con una integral)
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Sólo muestra $$\mathcal{O}\left(\frac{1}{\log (x)}\right)=o(1)$$ y ya está.
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@Shaun: Pero no creo que sea cierto. Estoy de acuerdo en que un $O\left(\frac{1}{\log(x)}\right)$ es un $o(1)$ pero no creo que lo contrario sea cierto. Por ejemplo $\frac{1}{\sqrt{\log(x)}}$ es un $o(1)$ pero no un $O\left(\frac{1}{\log(x)}\right)$ .