Mostrar que existe una función continua en $E$ que no se limita

Question

Deje $E\subset\mathbb{R}$ no compacto. Mostrar que

i) Existe una función continua en a $E$ que no está delimitado.

ii) Existe una continua y acotada de la función en $E$ que no tiene máximo.

iii) Si $E$ es acotado, entonces, existe una función continua en a $E$ que no es uniformemente continua

Empecé a escribir una definición que tengo duda

Def: conjunto $E\subset \mathbb{R}$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

Si un conjunto no es compacto, entonces puedo decir que no es acotada o no cerrado?

i) $f(x)=\sqrt{x}$ es una función continua y no es acotada.

ii) a partir De la duda que tengo en la definición, si un conjunto es no compacta y es acotado, entonces no es cerrado, así que no tiene un máximo.

iii) no sé cómo encontrar un ejemplo.

Answer 1

Cualquiera de las $E$ no está cerrada o no acotados (o ambos).

(i) Si $E$ no está cerrado, deje $a \in \mathbb R$ ser un punto límite de $E$ que no está contenido en $E$. A continuación, $\displaystyle f:E \to \mathbb R, \quad f(x)= \frac{1}{x-a}$ es una función no acotada.

Si, por otro lado, $E$ es no acotado, entonces $f:E \to \mathbb R, \quad f(x)=x$ es ilimitado.

(ii) Si $E$ no está cerrada, seleccione $a \in \mathbb R$ anterior. Entonces (por ejemplo) $f(x)=e^{-(x-a)^2}$ obras. (debido a que $e^{-x^2}$ es una "campana" de la curva, continua, acotada y sólo tiene un máximo)

Si $E$ no está delimitado desde arriba, $f(x)= \arctan x$ obras. Si $E$ no está delimitado desde abajo, entonces usted puede tomar $f(x)=-\arctan x$.

(iii) $\displaystyle \ f(x)= \frac{1}{x-a}$ funciona para este caso, también.

Answer 2

Como usted ha señalado, un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ es compacto $\iff$ es cerrado y acotado. Así que si $E$ no es compacto, entonces es acotada, o es acotada pero no se ha cerrado.

Si $E$ es ilimitado, algo así como su $f(x) = \sqrt{x}$ ejemplo de trabajo. Sin embargo, es necesario definir funciones definidas a trozos, para asegurarse de que no toma no válida de entrada de $E$ (números negativos). También se puede optar por cualquier función continua $g$ $\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} g(x) = -\infty \text{ and } \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \infty$ o vice-versa.

Ahora vamos a considerar cuando se $E$ es acotada pero no se ha cerrado. En este caso, podemos tomar ventaja de las funciones como $\displaystyle \frac{1}{x}$. Si $E$ eran, digamos, $(0, 1]$,$f(x) = \displaystyle \frac{1}{x}$, y el propio trabajo desde $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \infty$. Piense acerca de cómo generalizar esta idea arbitraria de bounded-pero-no-conjuntos cerrados.

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Es también vale la pena pensar en si una función $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ es necesariamente limitada al $E$ es compacto.

Answer 3

Que $E$ sea un subconjunto compacto no $\mathbb{R}$. Tampoco tenemos que $E$ no limita o $E$ no es cerrado. Si es el primero, tenga en cuenta que

1. es ilimitada en $f(x) = x^2$ $E$.
2. $f(x) = \arctan(x)$ se limita y no tiene ningún máximo.
3. La función de 1. también no es uniformemente continua en $E$.

Si $E$ no se encuentra cerrado $ p \notin E$ en su cierre. Jugar con funciones como $f(x) = \frac{1}{|x-p|}$ para la construcción de funciones según sea necesario.