Series en un espacio que no está completo

Question

Sea $X$ sea un espacio vectorial normado y $\left\lbrace x_n \right\rbrace_{n \in \mathbb{N}} \in X^{\mathbb{N}}$ con

$$\sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\| < \infty \wedge \sum_{n=1}^{\infty} x_n \notin X,$$

lo que significa que no existe $x \in X$ con

$$\lim_{n \to \infty} \left\|x-\sum_{k=1}^{n} x_k \right\|=0. $$

¿Puede alguien darme un ejemplo de una secuencia de este tipo $\left\lbrace x_n \right\rbrace_{n \in \mathbb{N}}$ ?

Sé que esta situación sólo es posible si $X$ no está completa.

Answer 1

Toma $X=c_{00}$ ---el espacio de todas las secuencias que están casi en todas partes $0$ y como $x_n$ ---la secuencia que tiene $\frac{1}{2^n}$ en $n$ -ésimo lugar y $0$ en otro sitio.