$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)^{1/x}$ donde $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{a_k}}{a_k!}$ .

Question

¿Existe el siguiente límite? ¿Cuál es su valor si existe? $$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)^{1/x}$$ donde $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{a_k}}{a_k!}$ y $\{a_k\}\subset\mathbb{N}$ satisface $a_k<a_{k+1},k=0,1,\cdots$

$\bf{EDIT:}$ Voy a mostrar que $f(x)^{1/x}$ es no necesariamente que aumenta monótonamente para $x>0$ .

Desde $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x+2\big)^{1/x}=1$ para cualquier $M>0$ podemos encontrar algunos $L > M$ tal que $\big(2+L\big)^{1/L}<\sqrt{3}$ . Es fácil comprobarlo: $$\sum_{k=N}^\infty \frac{x^k}{k!} = \frac{e^{\theta x}}{N!}x^N\leq \frac{x^N}{N!}e^x,\quad \theta\in(0,1)$$ Por lo tanto, podemos elegir $N$ lo suficientemente grande como para que para cualquier $x\in[0,L]$ $$\sum_{k=N}^\infty \frac{x^k}{k!} \leq 1$$ Ahora, dejamos que $$a_k=\begin{cases}k,& k=0,1\\ 0,& 2\leq k <N\\ k,& k\geq N\end{cases}$$ Entonces $f(x)= 1+x+\sum\limits_{k=N}^\infty\frac{x^k}{k!}$ y $$f(2)^{1/2} \geq \sqrt{3} > (2+L)^{1/L} \geq f(L)^{1/L}$$ que muestra que $f(x)^{1/x}$ no es monotónicamente creciente en $[2,L]$ .

Answer 1

No es necesario. Usted sabe $e^x= \sum_0^\infty x^n/ n!$ .

Ahora (usando la convención de que sumar desde o hasta un número no entero significa sumar hasta o desde su piso) $$\sum_0^{\sqrt{x}-1} x^n/ n! < \sum_0^{\sqrt{x}-1} x^n< x^{\sqrt{x}}$$ para grandes $x$ ,

y

$$\sum_{x^2}^{\infty} x^n/ n! < \sum_{x^2}^{\infty} x^n/ (x^2/e)^n< \sum_{x^2}^{\infty} (e/x)^n < 1$$ para grandes $x$ .

Así que si tomamos la subsecuencia de $1,2,...$ que consiste en aquellos enteros entre todos los $2^{4k+2}$ y $2^{4k+4}$ pero no el resto (es decir, del 5 al 16, luego todos del 65 al 256, etc.), entonces para $x=2^{4k+1}$ (como 2, 32 etc) obtendremos $\sum_0^\infty x^{a_k}/(a_k)! <x^{\sqrt{x}}+1$ para que $f(x)^{1/x}$ límites a $1$ y para $x=2^{4k+3}$ (como 8, 128 etc) obtendremos $\sum_0^\infty x^{a_k}/(a_k)! >e^x -x^{\sqrt{x}}-1$ para que $f(x)^{1/x}$ límites a $e$ .

Edición: Cómo ver las desigualdades para $x=2^{2k+1}$ y $x=2^{2k+3}$ , también conocido como "¿qué está pasando?"

La idea es que para cada $x$ la suma $e^x=\sum x^n/n!$ se divide en 3 partes - $n$ de $1$ a $\sqrt{x}$ entonces $n$ de $\sqrt{x}$ a $x^2$ y luego de $x^2$ a $\infty$ y la primera y la última parte son relativamente pequeñas.

Ahora $\sum_0^\infty x^{a_k}/(a_k)!$ es la suma de sólo aquellos $n$ que $a_k$ escoge la forma $\mathbb{N}$ . Por lo tanto, si hacemos una secuencia que no recoge nada de la parte central para algunos $x$ , es decir, evita el $n$ de $\sqrt{x}$ a $x^2$ , entonces la suma para ese $x$ sería menor que las dos partes restantes, es decir $x^{\sqrt{x}}+1$ .

Del mismo modo, si la primera y la última parte de la suma son pequeñas, entonces la parte central es grande, al menos $e^x-x^{\sqrt{x}}-1$ . Así que si para algunos $x$ la subsecuencia alcanza todos los enteros de la parte central, entonces la suma será al menos así de grande para ese $x$ .

La secuencia que escoge los enteros entre $2^{4k+2}$ y $2^{4k+4}$ evita la parte central para $x=2^{4k+1}$ y golpea toda la parte central para $2^{4k+3}$ . Por lo tanto, los límites, proporcionando dos subsecuentes donde el límite es 1 y $e$ de la misma manera.

Answer 2

Este límite no existe en general. Primero observemos que para cualquier polinomio $P$ con coeficientes no negativos tenemos $$ \lim_{x\to\infty} P(x)^{1/x} = 1$$ y $$ \lim_{x\to\infty} (e^x - P(x))^{1/x} = \lim_{x\to\infty} e (1-e^{-x}P(x))^{1/x} = e.$$ Para facilitar la notación, dejemos que $$ e_n(x) = \sum_{k=n}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$$ Tenga en cuenta que $\lim\limits_{n\to\infty} e_n(x) = 0$ por cada $x$ .

Definamos ahora una serie de potencias de la forma $$ f(x) = \sum_{i=1}^\infty \sum_{k=m_i}^{n_i} \frac{x^k}{k!}, $$ junto con las sumas parciales $$ P_j(x) = \sum_{i=1}^j \sum_{k=m_i}^{n_i} \frac{x^k}{k!}, $$ donde $1 \le m_1 \le n_1 < m_2 \le n_2 < \ldots$ se eligen inductivamente a continuación. Queremos encontrar secuencias crecientes $(x_i)$ y $(y_i)$ con $x_i \to \infty$ , $y_i \to \infty$ y $f(x_i)^{1/x_i} \le \frac32$ y $f(y_i)^{1/y_i} \ge 2$ lo que obviamente implica la inexistencia de $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)^{1/x}$ .

Habiendo definido ya $m_i$ , $n_i$ , $x_i$ , $y_i$ para $i < j$ sabemos que $\lim\limits_{x\to\infty} P_{j-1}(x)^{1/x} = 1$ por lo que existe $x_{j}>j+x_{j-1}$ tal que $P_{j-1}(x_j)^{1/x_j} \le \frac54$ . Entonces existe $m_{j}>n_{j-1}$ tal que $$(P_{j-1}(x_j)+e_{m_{j}}(x_{j}))^{1/x_j} \le \frac32,$$ lo que implica que cualquier elección que hagamos para $n_j$ , $m_{j+1}$ etc., siempre obtenemos $$f(x_j)^{1/x_j} \le (P_{j-1}(x_j)+e_{m_{j}}(x_{j}))^{1/x_j} \le \frac32.$$ También sabemos que $$\lim\limits_{x\to\infty} (P_{j-1}(x) + e_{m_j}(x))^{1/x} = e>2,$$ por lo que existe $y_j > x_j$ con $$ (P_{j-1}(y_j) + e_{m_j}(y_j))^{1/y_j} >2. $$ Además, existe $n_j > m_j$ con $$ (P_{j-1}(y_j) + e_{m_j}(y_j)- e_{n_j+1}(y_j))^{1/y_j} >2.$$ Por último, esto implica $$ f(y_j)^{1/y_j} \ge P_j (y_j)^{1/y_j} = (P_{j-1}(y_j) + e_{m_j}(y_j)- e_{n_j+1}(y_j))^{1/y_j} >2.$$ Llevando esta idea un poco más lejos, se puede conseguir $\liminf\limits_{x\to\infty} f(x)^{1/x} = 1$ y $\limsup\limits_{x\to\infty} f(x)^{1/x} = e$ .