Bolas de dibujo con un número finito de recambio

Question

Tengo que resolver este problema:

"Supongamos que una caja contiene $18$ bolas numeradas $1–6$, tres bolas con cada número. Cuando $4$ pelotas son dibujadas sin reemplazo, ¿cuántos resultados son posibles?". (El orden no importa).

No puedo encontrar una fórmula sencilla para él. He intentado de esta manera y no sé si es la forma correcta:

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Un resultado aleatorio podría o no podría tener el número de $1$. Si lo tiene, el resultado podría ser $111$ , además de una cantidad $2\le n \le 6$o $11$ más de dos números o $1$ más de tres números.

• En el primer caso tenemos un total de ${{5}\choose{1}} = 5 $ de los resultados.
• En el segundo caso tenemos un total de ${{5}\choose{2}} + 5 = 15$ de los resultados.
• En el último caso tenemos un total de ${{5}\choose{3}} + 5 +5\times 4 = 35 $ de los resultados.

Finalmente, si los resultados no tiene el número 1 tenemos un total de $ {{5}\choose{4}} + 5\times(4\times 3 + 4) + 5\times 4 + 5 = 110$.

Así que hay 165 resultados posibles.

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¿Es lo correcto? Si sí, hay una manera más simple y mucho más elegante manera de demostrarlo?

Gracias

Answer 1

Método I. (caso por caso)

Caso I: todos los números son distintos. Luego hay $\binom 64 =15$.

Caso II: un par, los otros dos distintos. Luego hay $6$ formas de elegir el rango de la pareja, y $\binom 52=10$ formas de elegir el impar dos. Por lo tanto $6\times 10=60$.

Caso III: dos pares. Hay $\binom 62=15$.

Caso IV: uno triple. Hay $6$ formas de elegir el rango de la triple a y la $5$ formas de elegir el odd man out. Por lo tanto $30$.

Así: $$15+60+15+30=120$$

Método II. (Estrellas y Barras)

Si usted ignorar el hecho de que sólo tenemos tres de cada número, estamos preguntando por el número de $6-$tuplas de enteros no negativos que se suma a $4$. Las estrellas y las Barras , a continuación, nos dice que la respuesta sería la $\binom {4+6-1}4=\binom 94=126$. Por supuesto, esto también se tiene en cuenta los seis casos en los que todas las bolas muestran el mismo número. Como eso es imposible, debemos eliminar esos casos, así que la respuesta sería entonces $$126-6=120$$

Answer 2

Primero vamos a resolver por $24$ bolas numeradas $1-6$, $4$ bolas de cada número.

Luego de ser encontrado es el número de sumas $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=4$ donde la $a_i$ son números enteros no negativos.

Aquí $a_i$ se corresponde con el número de bolas que se extraen y transportan número $i$.

Con las estrellas y las barras nos encontramos con $\binom{9}{5}=126$ posibilidades.

Ahora debemos restar el número de las "posibilidades" que en realidad no estaban posibilidades debido a $4$ pelotas con el mismo número fueron dibujados.

Entonces terminamos con $$\binom95-6=120$$ posibilidades.

Answer 3

Uno más es la utilización de una generación de función. Considere la posibilidad de

$$F(x) = (1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+x^3)\cdots(1+x+x^2+x^3) = (1+x+x^2+x^3)^6$$

Mirando el primer $(1 + x+ x^2 + x^3)$ plazo, podemos pensar que el exponente de a$x$ como se representa el número de "1" bolas que elegir (es decir, $1=x^0 \rightarrow 0,\ x = x^1\rightarrow 1,\ x^2\rightarrow 2,\ x^3\rightarrow 3$). En consecuencia, el segundo término representa el número "2" bolas que elija, etc. Desde los exponentes de cada término en el rango de 0 a 3, estamos restringidos a la elección en la mayoría de 3 de cualquier tipo de pelota. La respuesta a tu pregunta es el dado por el coeficiente de $x^4$ (ya que somos la elección de un total de 4 bolas) en la expansión de $F(x)$. Un equipo puede confirmar fácilmente que el coeficiente es de 120, dado por las otras respuestas.

Este método es bueno porque se puede generalizar para más complicadas condiciones bastante facilidad. Por ejemplo, si usted está interesado sólo en el número de dibujos donde un número de "1" bolas están presentes, usted puede simplemente cambiar el primer período de $(1 + x^2)$ (nota aún exponentes) y encontrar el coeficiente de nuevo.

Answer 4

Sólo por diversión, y porque a veces ayuda a ver las cosas contamos con: