Problema de combinatoria (mazo de cartas)

Question

Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar con esto.

Una empresa fabrica cubiertas de $50$ tarjetas. Hay $40$ "regular" de las tarjetas, que siempre vienen en un orden determinado, y $10$ "especial" de las tarjetas que no tienen un orden en particular y también se intercalan entre la cubierta. (Nota de la $40$ tarjetas regulares no siempre vienen una tras otra, sólo seguir siempre el mismo orden)

En cuántas combinaciones diferentes puede la cubierta venir?

Mi manera de pensar (que al parecer es lo correcto) fue para decir: "bueno, voy a elegir a $10$ de la $50$ los lugares posibles y que se multiplican por $10!$ que es el número de formas que se pueden barajar las cartas especiales. Así $$ \binom{50}{10} \cdot 10! . $$

Y eso sería todo, desde las tarjetas regulares siempre serán colocados en un cierto orden. Pero la clave de respuestas dice

$$\binom{n+k-1}{n} = \binom{49}{10}\cdot 10! = \frac{49!}{39!}.$$

Alguna pista de por qué en lugar de recoger $10$ de $50$ recoge $10$ de $49$?

Gracias.

Answer 1

La respuesta correcta es-

${41 \choose 1} \cdot {42 \choose 1} \cdot {43 \choose 1} ... {50 \choose 1} = 41\cdot 42 \cdot 43... 50$

Esto es así, ya que una vez nos encargamos de la $40$ regular las tarjetas en el orden, hay $41$ lugares a la izquierda entre ellos (incluidos los extremos). Ahora, la primera tarjeta especial se pueden colocar en cualquiera de estos 41 'slots'.

La siguiente tarjeta especial ahora ha $42$ ranuras, como se ha de colocar entre las $41$ tarjetas.

Continuando con el proceso se obtiene la respuesta.

Parece que se supone que para interpretar el problema como sólo permitir que los espacios entre las tarjetas y no los extremos. En ese caso, usted tendría $39$, las ranuras para la primera tarjeta especial, $40$ para el segundo y así sucesivamente.

Que da $39 \cdot 40 \cdot 41 ... 48$.

En general, el problema es un poco ambigua, tal vez debido a algunos problemas en la comprensión del problema y de la traducción :)