¿Existe alguna función de densidad de probabilidad $‎f:‎\mathbb{R}\to‎\mathbb{R}‎$ que no es Riemann integrable?

Question

Deje $‎‎f:‎\mathbb{R}\to‎\mathbb{R}‎$ ser una función de densidad de probabilidad. Puede que el siguiente se pasó por $‎‎f$?

(1) $‎‎f$ no es integrable en (algunos) intervalo de $\mathbb{R}‎$.

(2) $‎‎f$ no es integrable en cada intervalo cerrado de a$\mathbb{R}‎$. Sé que si $‎f‎$ es una función de densidad de probabilidad, a continuación,

(1) $‎‎f(x)‎\geq‎0 ‎\quad‎\text{for all} \; x$,

(2) $\int_{-‎\infty‎}^{+\infty}f(x)\,dx=1$.

pero aquí tenemos Lebesgue la integral no integral de Riemann. Por otra parte, si $‎‎f$ quiere ser Riemann integrable sobre el conjunto de la $\mathbb{R}‎$, se debe mantener en las siguientes condiciones

(a) $‎‎f$ es integrable en cada intervalo cerrado de a$\mathbb{R},‎$

(b) la siguiente integral es convergente

$$\int_{-‎\infty‎}^{+\infty}f(x)\,dx=‎‎\int_{-‎\infty‎}^{0}f(x)\,dx+\int_{0‎}^{+\infty}f(x)\,dx.$$

Según el mencionado cosas, la mayoría de los pdf son Riemann integrables, y yo no podía encontrar ningún ejemplo de como me pidió. Alguien podría ayudarme a encontrar eso. muchas gracias.

Answer 1

Es conocido que existe un conjunto medible $E$ en $\mathbb R$ tal que $0<m(E\cap I) <m(I)$ para cada intervalo abierto $I$. Si $f=\frac {I_E} {m(E)}$ entonces $f$ es una función de densidad, pero no es continua en cualquier punto, así que no es Riemann integrable en cualquier intervalo.

Para la construcción de un conjunto de $E$ ver la Creación de un Lebesgue medibles conjunto con propiedad peculiar.

Es fácil dar más simples ejemplos donde $f$ es casi igual en todas partes a un Riemann integrable función, pero no es la misma de Riemann integarble. En la teoría de la probabilidad función de densidad que son iguales en casi todas partes, conduce a la misma distribución, por lo que he tratado de dar un ejemplo que no es casi igual en todas partes a un Riemann integrable función.

Answer 2

<span class="math-container">$ f (x) =\begin{cases} 0 &; x\in\Bbb Q \cap[0,1] \ 1 &; x\in\Bbb Q^c \cap[0,1] \end{casos} $$</span> es una función de densidad de probabilidad que no es Riemann integrable.

Si desea que una función de densidad que no es Riemann integrable sobre cualquier intervalo en <span class="math-container">$\Bbb R$</span> entonces usted puede tomar <span class="math-container">$f$</span> a ser la distribución de Gauss (normalizada) y entonces <span class="math-container">$f+\mathbf 1_{\Bbb Q}$</span> es la función de densidad de probabilidad deseada con las propiedades Quieres.