¿Para que primos $p$ es $p^2+p+1$ primer así?

Question

Estoy tratando de averiguar que <span class="math-container">$p$</span>de números primos, el número <span class="math-container">$p^2+p+1$</span> también es privilegiada. Los primeros son <span class="math-container">$$2,3,5,17,41,59,71,89,101$$ I tried to take the relation modulo <span class="math-container">$p+1$</span> and it turns out that in <span class="math-container">$\mathbb{Z}_{p+1}$</span>, <span class="math-container">$p^2+p+1$</span> is <span class="math-container">$\hat{1}$</span>, pero no puedo continuar desde aquí.</span>

Answer 1

Los números primos $p$ , para que $p^2+p+1=\frac{p^3-1}{p-1}$ es primo así, no se puede clasificar. Como se ha mencionado en los comentarios, podemos restringir $p$ , pero básicamente para encontrar los números primos, sólo podemos hacer fuerza bruta. No hay manera de "predecir" si el primer $p$ que hace el trabajo.

El Bunyakovsky conjetura implica que una cantidad infinita de números primos $p$ hacer el trabajo, pero se desconoce si este es el caso. En PARI/GP , la siguiente rutina calcula los números primos hasta un determinado límite :

? forprime(p=1,10^4,if(isprime(p^2+p+1)==1,print1(p," ")))
2 3 5 17 41 59 71 89 101 131 167 173 293 383 677 701 743 761 773 827 839 857 911
 1091 1097 1163 1181 1193 1217 1373 1427 1487 1559 1583 1709 1811 1847 1931 1973
 2129 2273 2309 2339 2411 2663 2729 2789 2957 2969 3011 3041 3137 3221 3251 3407
 3449 3491 3557 3671 3881 3989 4157 4217 4259 4409 4721 4733 4751 4877 4889 4973
 5003 5039 5087 5351 5501 5867 6047 6173 6389 6551 6569 6599 6653 6719 6761 6791
 6833 6917 7013 7229 7253 7547 7883 7901 8093 8231 8237 8387 8501 8543 8627 8669
 8681 8741 8753 8807 8963 9059 9323 9521 9533 9689 9719 9743 9749 9803
?