Por qué una función continua pero no uniformemente continua $f$ en $\mathbb{R}^n$ se vuelve uniformemente continua cuando el dominio se restringe a un conjunto compacto?

Question

He visto la prueba del título y sigo aproximadamente todos los pasos de la prueba. Pero no puedo ver la intuición de esta afirmación. ¿Podría alguien mostrarme un ejemplo concreto utilizando $\delta-\epsilon$ ? Gracias.

Answer 1

Permítanme darles algunos ejemplos que pueden ayudar a formar la intuición sobre conjuntos compactos. Aunque estos ejemplos serán funciones en $\Bbb R$, la idea de $\Bbb R^n$ no es diferente.

Por el Heine-Borel teorema, compacto pone en $\Bbb R^n$ son precisamente los que son cerrados y acotados. Vamos a ver qué pasa cuando estas a$2$ condiciones no son satisfechas.

Cerrado: Fuerte oscilación es una de las razones que impide que una función continua de ser uniformemente continua. Considere la función continua $f:(0,1]\to\Bbb R$ definido por $$ f(x)=\sin\left(\frac 1x \right). $$ Esta función no es uniformemente continua debido a que la oscilación se hace infinitamente fuerte cerca de $x=0$. Esto sucede porque el $x=0$ está en el límite de $(0,1]$ pero $f(0)$ no necesitan ser definidas, por lo tanto el comportamiento de $f$ puede ser muy salvaje cerca de los puntos de límite. Por otro lado, si nuestro dominio es compacto, dice $D=[0,1]$ entonces $f(0)$ debe ser definido de manera que la oscilación cerca de $x=0$, si la hay, debe "muere" lo suficientemente rápido para que $\lim_{y\to 0}f(y)=f(0)$.

Delimitado: la Pendiente es otra razón por la que una función puede no estar uniformemente continua. Considere la posibilidad de $f:[0,\infty)\to \Bbb R$ befined por $$ f(x)=x^2. $$ Supongamos que $a<b$. Por el valor medio teorema, tenemos $|f(a)-f(b)|=|f'(\xi)||a-b|$ para algunos $\xi\in(a,b)$. Sabemos que $f'(x)=2x$ y que nuestro dominio no está acotada, por lo tanto $f'(\xi)$ es ilimitado. Esto implica que $f$ no es uniformemente continua. Sin embargo, si nuestro dominio es acotado, dice $D=[0,M]$, a continuación, $f'(x)$ es limitado y nuestra función debe ser uniformemente continua.

En general, $f$ no necesita ser diferenciable por lo que la anterior razonamiento no se aplica literalmente. Aún así, tengo la esperanza de que le da cierta intuición de que podría ser de ayuda. La situación también está relacionado con el teorema del valor extremo, es decir, que una función continua no puede ser acotada en un conjunto compacto.

Answer 2

Un ejemplo concreto puede ser el siguiente. Tomemos, por ejemplo $f(x) = x^2$ . Se trata de una función continua sobre $\mathbb{R}$ pero no es uniformemente continua porque $|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2|$ no puede ser menor que un determinado $\varepsilon>0$ por cada $x,y$ cuya diferencia $|y-x|$ es menor que un determinado $\delta_{\varepsilon}$ dependiendo sólo de $\varepsilon$ pero no en $x,y$ . En otras palabras, no hay $\delta_{\varepsilon}>0$ tal que $|y-x| < \delta_{\varepsilon}$ implica $|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2| < \delta_{\varepsilon}$ porque $|y^2 - x^2| = |x+y||x-y|$ y no importa lo pequeño que sea $|x-y|$ es, el otro factor $|x+y|$ puede hacerse lo suficientemente grande (eligiendo $x,y$ grande) para que $|y^2 - x^2| \geq \delta_{\varepsilon}$ . Sin embargo, un conjunto compacto de $\mathbb{R}$ como el intervalo $[0,1]$ está acotado, y eso hace que el factor $|x+y|$ también acotado, más concretamente $|x+y| \leq 2$ en $[0,1]$ . Así que ahora podemos encontrar un $\delta_{\epsilon} = \frac{\varepsilon}{2}$ tal que $|y-x| < \delta_{\varepsilon}$ implica $$|y^2 - x^2| = |x+y||x-y| < 2 \delta_{\varepsilon} = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Editar: Cuando terminé de escribir mi respuesta me encontré con que BigbearZzz ya había publicado una respuesta más completa. Voy a publicar la mía de todos modos como una versión más simple, y utilizando $\varepsilon-\delta$ como pide el OP.

Answer 3

Si por ejemplo $\epsilon=1$ no hay $\delta$ que funciona en todo el conjunto compacto, entonces que $x_n$ sea tal que $\delta=1/n$ no funciona. Entonces, un punto de acumulación del $x_n$ es un punto donde $f$ no es continua en absoluto.

Answer 4

Considere $f(x)=\frac{1}{x}$ que es continua en $(0,\infty)$ pero no de manera uniforme.

¿Por qué no podemos encontrar uno $\delta\gt 0$ que funciona para todos $x\in (0,\infty)$ ? Como $x$ se acerca a $0$ , $\ f$ se hace más pronunciada, de modo que pequeños cambios en $x$ conducen a mayores cambios en $f$ .

Supongamos que nos dan $\epsilon\gt 0$ y $a\in(0,\infty)$ . Queremos encontrar $\delta\gt 0$ tal que $|x-a|\lt\delta\implies|\frac{1}{a}-\frac{1}{x}|\lt\epsilon$ .

$$|\frac{1}{a}-\frac{1}{x}|\lt\epsilon\implies -\epsilon\lt\frac{1}{a}-\frac{1}{x}\lt\epsilon\implies -\frac{1}{a}-\epsilon\lt -\frac{1}{x}\lt\epsilon-\frac{1}{a}\implies\frac{1}{a}+\epsilon\gt\frac{1}{x}\gt\frac{1}{a}-\epsilon$$

El lado derecho equivale a $\frac{1+a\epsilon}{a}\gt\frac{1}{x}\gt\frac{1-a\epsilon}{a}$ .

Si $\epsilon$ es lo suficientemente grande como para que $1-a\epsilon\lt 0$ podemos restringir $\epsilon$ sea menor para que $1-a\epsilon\gt 0$ . Podemos hacerlo porque si el valor absoluto es menor que el menor $\epsilon$ entonces también debe ser menor que el mayor $\epsilon$ .

Restringir $\epsilon$ y tomando los recíprocos nos da $\frac{a}{1+a\epsilon}\lt x\lt\frac{a}{1-a\epsilon}$ .

Para los pequeños $\epsilon$ , $\ \frac{a}{1+a\epsilon}$ es un número ligeramente inferior a $a$ y $\frac{a}{1-a\epsilon}$ es un número ligeramente mayor que $a$ . Por lo tanto, como $a$ se acerca a $0$ necesitamos un $\delta$ para hacer $|\frac{1}{a}-\frac{1}{x}|\lt\epsilon$ .