¿Existencia de subgrupos de potencia del orden de primo en un grupo abelian finito?

Question

Decir que tengo un finito grupo abelian $G$ tal que $\left | G \right |=p_1^{n_1}...p_m^{n_m}$ donde la $p_i$'s son distintos. Puedo decir que $G$ debe haber un subgrupo de orden $p_1^{n_1}$? Estoy pensando en que puedo usar el teorema de estructura de escribir $G$ como $\mathbb{Z}/p_1^{n_{1_{1}}}\times ...\times \mathbb{Z}/p_1^{n_{1_{s_{1}}}}\times...\times\mathbb{Z}/p_m^{n_{m_{1}}}\times ...\times \mathbb{Z}/p_m^{n_{m_{s_{m}}}}$ luego tomar $\mathbb{Z}/p_1^{n_{1_{1}}}\times ...\times \mathbb{Z}/p_1^{n_{1_{s_{1}}}}\times\left \{ 1 \right \}...\times\left \{ 1 \right \}$ donde $\sum_i n_{1_{i}}=n_1$.

Es mi razonamiento correcto? Me gustaría evitar el uso de los teoremas de Sylow.

Gracias de antemano.

Answer 1

Algunos aspectos destacados:

En primer lugar, usted puede tomar $\;K:=\Bbb Z/p_1^{n_1}\Bbb Z\times\{1\}\times\ldots\times\{1|]\;$ para obtener un subgrupo de orden $\;p_1^{n_1}\;$ , y ahora se puede generalizar esto para cada uno de los prime $\;p_1,..,p_m\;$ y sus poderes.

A continuación, utilice el básico lema que dice que un número finito de $\;p\,-$ grupo de orden $\;p^n\;$ tiene un (normal si se quiere, incluso cuando no estamos en el abelian caso!) subgrupo de orden $\;p^k\;$ , para cualquier $\;0\le k\le n\;$ .

Por último, sólo tiene que utilizar el producto directo de descomposición para obtener un subgrupo de cualquier orden dividir el grupo.

Answer 2

Aquí hay una hoja de ruta.

Deje $p$ ser un primer división de la orden de $G$.

• Deje $P = \{ g \in G : ord(g) \text{ is a power of $p$} \}$.

• A continuación, $P$ es un subgrupo de $G$ (debido a $G$ es abelian).

• El orden de $P$ es una potencia de $p$ (del teorema de Cauchy).

• El orden de $P$ es el mayor poder de $p$ que se divide el orden de $G$ (por Cauchy teorema aplicado a $G/P$).