¿Se puede mejorar mi prueba de que " $\sqrt{3} $ es irracional"?

Question

Supongamos, por contradicción, que $\sqrt{3}$ es racional. Entonces existe $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $$\frac{a}{b}= \sqrt{3},$$

donde $a/b$ es en su forma más simple. Entonces la ecuación anterior implica $$a^2=3b^2.$$ Si $b$ es par, entonces $a$ es par, lo cual es una contradicción ya que $a/b$ por lo tanto, no está en su forma más simple.

Ahora, considere $b$ sea impar, entonces a es impar. Entonces para $m,n \in \mathbb{Z}$ tenemos $$(2m+1)^2=3(2n+1)^2\\ 4m^2+4m+1=12n^2+12n+3\\ 2(2m^2+2m)=2(6n^2+6n+1)\\2(m^2+m)=2(3n^2+3n)+1.$$

El LHS es uniforme ya que $m^2+m \in \mathbb{Z}$ y el RHS es impar ya que $ 3n^2+3n\in \mathbb{Z}$ . Esto es una contradicción, por lo que concluimos que $\sqrt{3}$ es irracional.

Answer 1

Su prueba me parece correcta. En lugar de hacer el álgebra al final, podrías reducir la ecuación $a^2 = 3b^2$ modulo $4$ . Si $a$ y $b$ son ambos Impares, entonces $$a^2 \equiv 1 \mod 4,$$ y \begin {align*} b^2 & \equiv 1 \mod 4 \\ 3b^2 & \equiv 3 \mod 4, \end {align*} contradicción.

Otro enfoque es observar que en la factorización primaria de $a^2 = 3b^2$ El poder de $3$ dividiendo el lado izquierdo es par, mientras que la potencia de $3$ dividiendo el lado derecho es impar.

Answer 2

Otra prueba

sabemos que $$1<\sqrt{3}<2$$

asume $a=b\sqrt{3}\in \Bbb N$

con $b>1$ .

Dejemos que $$A=\{c\in \Bbb N, c>1 : c\sqrt{3}\in \Bbb N\}$$

$$A\neq \emptyset $$ dejar $m=\min A$ .

entonces

$$\alpha=m(\sqrt{3}-1)\in A \text{ and } \alpha<\min A$$ que es una contradicción, por lo tanto $\sqrt{3}\notin \Bbb Q$ .