Espacio vectorial de una función (Ejemplo para entender el concepto)

Question

En mi libro de texto se afirma: Sea G ser finito-dimensional espacio vectorial de las funciones reales en $R^D$. ¿Qué se entiende por "espacio vectorial de las funciones reales"?

Yo sé lo que es un espacio vectorial es, no entiendo cómo pueden las funciones de forma de espacio vectorial (La única espacios vectoriales que ver con respecto a una función son el espacio vectorial de el dominio y el codominio)

Por favor, si usted es consciente, me proporcionan una tangibles e intuitiva ejemplo con la explicación, como puedo encontrar ejemplos muy útiles para la comprensión.

Answer 1

Usted no debe tratar de "visualizar" un único vector como lo que sea por todos los medios, esta probado alguna vez por un período de cinco dimensiones? No podemos "visualizar" tales alta dimensión de los vectores, pero queremos hablar de los conceptos de paralelismo o de los planos o proyecciones (en tales espacios vectoriales). No se puede "visualizar" el vector $(1,2,3,4,5)$, pero se puede decir que es paralelo a $(2,4,6,8,10)$ y que es la proyección sobre el (no visualisable) plano atravesado por $(1,0,0,0,0)$ e $(0,1,0,0,0)$ es $(1,2,0,0,0)$. Y que se puede realizar la transferencia con conjuntos de funciones.

Tomemos, por ejemplo, $\mathbb R^J$ (donde $J$ es un conjunto no vacío), el conjunto de los reales valores de las funciones definidas en $J$. Queremos considerar cada uno de los miembros, que es: cada función, de $\mathbb R^J$ como un único vector.

Primero debemos recordar que dos de las funciones de $f$ e $g$, definidos sobre el mismo dominio, se definen igual, iff son pointwise la igualdad, que es, $f=g$ fib para todos los $x$ desde el dominio común tenemos $f(x)=g(x)$.

A partir de aquí podemos definir la suma de dos funciones $f$ e $g$, la cual es una función de su propia, pointwise:

Definir para $f,g\in \mathbb R^J$ su suma $f+g$ por $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ para todos los $x\in J$. Además, se puede definir para cualquier número real $c$ la nueva función de $c\cdot f$ por $(c\cdot f)(x):=c\cdot f(x)$.

Es fácil comprobar que ahora $\mathbb R^J$ es un espacio vectorial real. (Puede ser de dimensiones infinitas, pero eso no importa en este caso). Por ejemplo, uno tiene que verificar que $$c\cdot (f+g)=c\cdot f+c\cdot g.$$ Pero eso es casi trivial, ya que por las definiciones anteriores $$\begin{align}\bigl({\bf c\cdot(f+g)}\bigr)(x)&=c\cdot\bigl((f+g)(x)\bigr)\\ &=c\cdot\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\\ &=c\cdot f(x)+c\cdot g(x)\\ &=(c\cdot f)(x)+(c\cdot g)(x)\\ &=({\bf c\cdot f+c\cdot g})(x).\end{align} $$

Para dar un ejemplo, recordemos que para cualquier no-vector cero $f$ de un espacio vectorial $V$ el conjunto $g=\{c\cdot f|c\in \mathbb R\}$ es una línea recta a través del origen. Ahora vamos a $J=\mathbb R$, por lo tanto $V=\mathbb R^{\mathbb R}$ y deje $f$ ser un conocido de la función definida por $f(t)=t^2$.

Desde este punto de vista el conjunto $g=\{c\cdot f|c\in \mathbb R\}$ es una línea recta en $V$ a través del origen. Cualquier punto de $p$ de $g$ es una función de $p$ , el cual es definido por $p(t)=c\cdot t^2$.

Por cierto, la "costumbre" espacio vectorial $\mathbb R^n=\mathbb R^{\{1,\dots,n\}}$ no es nada como el conjunto de funciones de $\vec v\colon\{1,\dots,n\}\to\mathbb R$, se puede ver esto? Tal $\vec v$ está determinado por los valores que toma para $1,\dots,n$, que es por $\vec v(1).\dots,\vec v(n)$; comúnmente uno escribe $v_k$ en lugar de $\vec v(k)$ para $1\leq k\leq n$. Y la notación $$\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}$$ no es otra cosa sino una forma de abreviar la tabla de valores que $\vec v$ toma en $\{1,\dots, n\}$.

Ahora toma otra función $\vec w$ de $\mathbb R^n$. De las definiciones anteriores podemos calcular $\vec v+\vec w$, es decir, por $(\vec v+\vec w)(k)=\vec v(k)+\vec w(k)$. Ahora esto se reduce, abreviado, a $$\vec v+\vec w=\begin{pmatrix}v_1+w_1\\ \vdots\\ v_n+w_n\end{pmatrix}.$$

Answer 2

$\mathbb R^D$ es el conjunto de todas las funciones $f:D \to \mathbb R.$ Si definimos una adición $f+g$ y una multiplicación escalar $ \alpha f$ en este conjunto por

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ y $( \alpha f)(x)= \alpha f(x)$ ,

entonces $\mathbb R^D$ es un espacio vectorial real (de funciones).

Answer 3

Tome una colección de funciones y ver si usted puede demostrar todas las propiedades de un espacio vectorial uso de ellos.

Un espacio vectorial requiere:

1. Un aditivo de identidad (escrito $0$ en ${\mathbb R}$). La función de $f\equiv 0$ cumple con esta necesidad.
2. Un escalar identidad multiplicativa (escrito $1$ en ${\mathbb R}$). $1$ trabaja aquí desde $1\cdot f = f$
3. Conmutatividad de la suma: $f+g = g+f$
4. La asociatividad de la suma: $f+(g+h) = (f+g)+h$
5. La asociatividad de la multiplicación escalar: $\alpha (\beta f) = (\alpha \beta)f$
6. La distributividad de escalares: $(\alpha + \beta)f = \alpha f + \beta f$
7. La distributividad de escalares sobre la adición de vectores: $\alpha(f+g) = \alpha f + \alpha g$
8. Un aditivo inverso: dado $f$ existe $g$ tal que $f+g = 0$. Obviamente $g=-f$ satisface esta.

Answer 4

Voy a ofrecer un punto de vista que da algunos ejemplos concretos.

Como se ha mencionado, la única cosa necesaria para tener un "espacio vectorial" es la capacidad de agregar objetos juntos, y multiplicar por escalares (sujeto a ciertas reglas especiales). Tenemos esta para las funciones que comparten un mismo dominio y codominio. Si tenemos en cuenta todas las funciones con codominio $\mathbb{R}$, y se fija codominio $D$, obtenemos un infinito-dimensional espacio vectorial (a menos $D$ es un conjunto finito). Esto es lo que se suele denominar $\mathbb{R}^{D}$.

Ahora, si queremos un finito dimensional espacio vectorial, lo que estamos buscando es un subespacio de $\mathbb{R}^{D}$ que puede ser atravesado por un conjunto finito de funciones. Aquí intervalo es el normal de álgebra lineal concepto, donde se nos permite tomar las combinaciones lineales de las funciones, por ejemplo, el espacio de funciones de $f(x)$ e $g(x)$ se vería $\{ af(x) + bg(x) \ : \ a,b \in \mathbb{R}\}$.

Algunos ejemplos:

1. Si tomamos el conjunto de constantes de las funciones de $f(x) = c$ para $c \in \mathbb{R}$, esto es un 1-dimensional espacio vectorial de las funciones, porque tal función es $c$ veces la función de $f(x) = 1$.

2. Si tomamos el conjunto de polinomios de grado menor que $n$, obtenemos un espacio vectorial de las dimensiones de $n+1$, por ejemplo los polinomios con grado menor que 4 da un 5-dimensional espacio vectorial con base $\{1,x,x^{2}, x^{3}, x^{4}\}$.

3. Si tomamos las combinaciones lineales de $\sin{x}$ e $\cos{x}$, obtenemos un espacio vectorial de dimensión 2, que contiene funciones de la forma $\{a\sin{x}+b\cos{x} \ : \ a,b \in \mathbb{R}\}$ (se puede demostrar que $\sin{x}$ e $\cos{x}$ no son múltiplos escalares de cada uno de los otros, por lo que son linealmente independientes).

Answer 5

La noción de un espacio vectorial es abstracto y puede ser aplicado a las Funciones (a veces estos espacios se denominan Espacios de funciones) y estos espacios son el objeto de Análisis Funcional.

Es importante alejarse de la representación geométrica de un vector espacio - son casos especiales y es imposible pensar cuando nos movemos en espacios de dimensiones superiores. En su lugar, considere la definición de un espacio vectorial:

Deje $V$ ser un conjunto que es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación de vectores por escalares, entonces llamamos V un espacio vectorial. es decir,

$$ \forall x, y \in V \quad \forall c,d \in R $$

$$ cx+dy \in V $$

Cuando estamos hablando de la función de los espacios que estamos hablando acerca de las asignaciones de $X$ a un espacio vectorial (más de un campo, pero no demasiado intervenidas en el presente si no sabes lo que esto significa) $V$ (tenga en cuenta que $X$ también puede ser un espacio vectorial, entonces se puede considerar que la función de espacio lineal de asignación).

Una más simple manera de pensar acerca de ellos es considerar como una colección de funciones que comparten características de su rango, y cuya codomains' son comúnmente la misma.

Ejemplo de tiempo!

La función de espacio de $C(\mathbb R^n)$ representa todas las funciones que son continuas en a$\mathbb R^n$. por ejemplo, $f(x)=x \in C(\mathbb R^1 )$

Una de Hilbert Espacios son subespacios de $C(\mathbb R^n)$ y, a menudo referido como generalizaciones de espacio Euclidiano.