Mostrar que el siguiente polinomio es irreducible sobre el anillo dado

Question

Estudiar para un examen de calificación y esta práctica problema de plano me tiene perplejo. Quiero demostrar que el polinomio $(y+8)^2x^3 - x^2 + (y+7)(y+8) - y - 12$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}[x, y]$. Mi pensamiento fue el uso de Eisenstein para $\mathbb{Q}[x][y]$ e $\mathbb{Q}[y][x]$, sin embargo, tanto las variaciones no han dado una solución. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}[y][x]$, el primer ideal tendría que contener $-1$, pero esto no puede suceder. La escritura de este polinomio como un polinomio en $\mathbb{Q}[x][y]$ se obtiene el polinomio $(x^3+1)y^2 + (16x^3 + 14)y + 64x^3 - x^2 + 44$, pero no he sido capaz de encontrar un alojamiento ideal para satisfacer Eisenstein. Cualquier idea se agradece.

Answer 1

Considere el homomorfismo $y \to -7$ de $\mathbb{Q}[x, y] \to \mathbb{Q}[x]$ . Entonces, la imagen es un ideal primordial apropiado de $\mathbb{Q}[x]$ y se puede demostrar que la imagen previa también debe ser un ideal primordial en $\mathbb{Q}[x, y]$ .