Estaba leyendo este trabajo expositivo por Yves André en el que afirma un agradable resultado: cada número trascendental es la raíz de una serie de energía en <span class="math-container">$\mathbb Q$</span>. Acredita este teorema de Hurwitz en el apartado 2.3, pero no da una referencia para él. No he podido encontrarme otra exposición de prueba te (o el papel relevante), así que estoy esperando alguien aquí sabe dónde buscar!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Edit: Hay una sencilla prueba a continuación para que el resultado exactamente como se mencionó en el OP. Sin embargo, el papel vinculado a la cites un mayor resultado, especificando que el poder de la serie debe definir una función de crecimiento exponencial. No veo cómo el argumento de abajo da que; ver los Comentarios en la parte inferior.
Decir $\alpha\in\Bbb C$, $\alpha\ne0$.
En primer lugar, si $\alpha$ es real es trivial que es un cero de algunos de potencia de la serie con coeficientes racionales: Si $r_0,\dots,r_n\in\Bbb Q$ han sido elegidos, no existe $r_{n+1}\in\Bbb Q$ con $$|r_0+\dots+r_{n+1}\alpha^{n+1}|<1/n;$$hence $$r_0+r_1\alpha+\dots=0.$$
Ahora decir $\alpha=\rho e^{it}$, $\rho>0$, $t\in\Bbb R$. Si $t/\pi$ es racional, entonces existe un entero positivo $N$ , de modo que $\beta=\alpha^N\in\Bbb R$; por lo $\beta$ es una raíz de algunos racional de energía de la serie, por lo tanto también lo es $\alpha$.
Por último, supongamos $t/\pi$ es irracional. A continuación, $\{e^{ikt}:k=1,2\dots\}$ es denso en el círculo unidad. Por lo tanto para cada $n$ el conjunto $\{r\alpha^k:r\in\Bbb Q, k=n+1,n+2,\dots\}$ es denso en $\Bbb C$ (para aproximar $z$ por $r\alpha^k$, primero elija $k$ a fin de obtener el argumento de, aproximadamente, a la derecha, a continuación, elija $r$ a fijar el módulo). Así como podemos recursivamente construir una secuencia $r_j$ de los racionales y estrictamente creciente secuencia $n_j$ de los enteros positivos, de modo que $$\sum r_j\alpha^{n_j}=0.$$
Comentarios. Ahora, ¿qué acerca de la introducción de una función de crecimiento exponencial?
Si $\alpha$ es real esto no es ningún problema: Decir wlog $\alpha>1$ a mantener las desigualdades limpie y reemplace el principal de la desigualdad anterior por $$|r_0+\dots+r_{n+1}\alpha^{n+1}|<1/(n+2)!;$$it follows that $r_n=O(1/n!)$, por lo tanto el poder de la serie es toda una función de crecimiento exponencial.
Y así hemos terminado si $\alpha^N$ es real. Pero el caso de $t/\pi$ irracional no es tan simple, tan lejos como puedo ver. Podemos hacer $\left|\sum_{j=0}^k r_j\alpha^{n_j}\right|$ tan pequeño como queramos como una función de $k$, pero el no ayuda, diciendo por ejemplo $$\left|\sum_{j=0}^k r_j\alpha^{n_j}\right|\le1/k!!!$$ says nothing about the radius of convergence. The problem is that in order to make $\izquierda|\sum_{j=0}^k r_j\alpha^{n_j}\right|$ small, by the trivial argument above, we may be forced to take $n_k$ large, so we don't get anything analogous to$$\left|\sum_{j=0}^k r_j\alpha^{n_j}\right|\le1/(n_k)!,$$que es lo que necesitamos.
Así, el documento citado en la OP llama a esto una primaria de resultado, por lo que no puede ser tan difícil. Probablemente hay una sencilla prueba de que nada de lo anterior; el argumento anterior es después de todo una simple fuerza bruta tipo de cosas, sin duda, uno puede hacer algo más sutil?
Quizás se pueda solucionar el argumento anterior, mostrando que no es necesario tomar $n_k$ demasiado grande para hacer $\left|\sum_{j=0}^k r_j\alpha^{n_j}\right|$ pequeños.
O algo se me acaba de ocurrir. La prueba de que la suma de dos números algebraicos es algebraica es bastante simple si usted mira a la derecha, pero no a priori evidente. Tal vez algunos de extensión de ese argumento muestra que si $\alpha=x+iy$ entonces la existencia de adecuados de alimentación de la serie para $x$ e de $y$, demostró anteriormente, implica el mismo para $\alpha$?
